Question

Найти производную y=(x^4+5)^ctgx

Answer 1

Хитрая производная! Она берется так:
y = f(x)^g(x)
Сначала берем производную от степенной функции, считая g(x) постоянной
Потом производную от показательной функции, считая f(x) постоянной.
Можно и наоборот. Результаты складываем.
y ' = g(x)*f(x)^(g(x) - 1)*f ' (x) + f(x)^g(x)*ln(f(x))*g ' (x)
Можно f(x)^g(x) вынести за скобки
y ' = f(x)^g(x)*[g(x)*f ' (x)/f(x) + ln(f(x))*g ' (x)]
В нашем случае
y = (x^4+5)^ctg x
y' = ctg x*(x^4+5)^(ctg x-1)*(4x^3) + (x^4+5)^ctg x*ln(x^4+5)*(-1/(1+x^2)) =
= (x^4+5)^ctg x*[4x^3*ctg x/(x^4+5) - ln(x^4+5)/(1+x^2)]

Answer 2

Давайте найдем производную \( y \) по переменной \( x \) для функции \( y = (x^4 + 5)^{\cot{x}} \).

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Давайте обозначим внутреннюю функцию как \( u = x^4 + 5 \), а внешнюю как \( y = u^{\cot{x}} \). Производная \( y \) по \( x \) будет представлена как \( \frac{dy}{dx} \).

Теперь начнем нахождение производной:

1. Найдем производную внутренней функции \( u = x^4 + 5 \): \[ \frac{du}{dx} = 4x^3 \]

2. Найдем производную \( y \) по \( u \) с помощью правила степени: \[ \frac{dy}{du} = \cot{x} \cdot u^{\cot{x} - 1} \]

3. Теперь применим цепное правило (произведение производной внутренней функции на производную внешней): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

Подставляем полученные производные: \[ \frac{dy}{dx} = \left(\cot{x} \cdot (x^4 + 5)^{\cot{x} - 1}\right) \cdot (4x^3) \]

Это будет окончательным выражением для производной функции \( y \) по \( x \): \[ \frac{dy}{dx} = 4x^3 \cot{x} \cdot (x^4 + 5)^{\cot{x} - 1} \]