Question

Докажите, что для любых множеств A, B, C: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

Answer 1

A∪(B∪C)={x | (x∈A)∨(x∈(B∪C))}={x | (x∈A)∨((x∈B)∨(x∈C))}={x | (x∈A)∨(x∈B)∨(x∈C)}={x | ((x∈A)∨(x∈B))∨(x∈C)}={x | (x∈(A∪B))∨(x∈C)}=(A∪B)∪C

Answer 2

Чтобы доказать равенство между двумя множествами, необходимо показать, что они содержат одни и те же элементы. Давайте докажем равенство между множествами A∪(B∪C) и (A∪B)∪C.

Для начала, давайте рассмотрим левую часть равенства, A∪(B∪C). Это означает, что мы берем все элементы из множества A, а также все элементы из множества B∪C.

Теперь, давайте применим ассоциативность объединения множеств, чтобы переписать множество B∪C как (B∪C). Тогда мы можем записать левую часть равенства как A∪(B∪C) = A∪((B∪C)).

Затем, мы можем применить ассоциативность объединения множеств еще раз, чтобы переписать множество A∪((B∪C)) как (A∪B)∪C. Таким образом, левую часть равенства можно переписать как (A∪B)∪C.

Теперь рассмотрим правую часть равенства, (A∪B)∪C. Это означает, что мы берем все элементы из множества A∪B, а также все элементы из множества C.

Мы уже знаем, что множество A∪B содержит все элементы из множества A и все элементы из множества B. Таким образом, когда мы объединяем это с множеством C, мы получаем все элементы из множества A, все элементы из множества B и все элементы из множества C.

Таким образом, мы видим, что левая часть равенства A∪(B∪C) и правая часть равенства (A∪B)∪C содержат одни и те же элементы, поэтому они равны.

Таким образом, мы доказали, что для любых множеств A, B и C выполняется равенство A∪(B∪C) = (A∪B)∪C.