Question

Log x+4 (5x +20) <= log x+4 (x+4)^2 полное решение

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

ОДЗ: x+4>0

x>-4

$log_{x+4}(5x+20)\leq log_{x+4}(x+4)^2\\5x+20\leq (x+4)^2\\5x+20\leq x^2+8x+16\\x^2+8x+16-5x-20\geq 0\\x^2+3x-4\geq 0\\D=9-4*1*(-4)=25\\x_{1}=\frac{-3+5}{2} =1\\x_{2}=\frac{-3-5}{2} =-4$

x2 - не удовлетворяет ОДЗ

Ответ:x∈[1;+∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами, начнем с преобразования его в более удобную форму. Начнем с того, что у нас есть логарифмы с одинаковыми основаниями (предположим, что оба логарифма имеют основание x). Затем используем свойство логарифмов:

1. log(x, a) + log(x, b) = log(x, a * b).

Следовательно, у нас есть:

log(x, 4(5x + 20)) <= log(x, (x + 4)^2).

Для того чтобы неравенство выполнялось, внутренние аргументы логарифмов должны быть равными. Таким образом, мы можем записать:

4(5x + 20) = (x + 4)^2.

Теперь давайте решим этое уравнение:

1. Умножим обе стороны уравнения на 4:

20x + 80 = (x + 4)^2.

2. Раскроем квадрат справа:

20x + 80 = x^2 + 8x + 16.

3. Переносим все члены на одну сторону:

x^2 + 8x + 16 - 20x - 80 = 0.

4. Упростим уравнение:

x^2 - 12x - 64 = 0.

5. Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

В данном случае, a = 1, b = -12, и c = -64. Подставим значения:

x = (12 ± √((-12)^2 - 4 * 1 * (-64))) / (2 * 1),

x = (12 ± √(144 + 256)) / 2,

x = (12 ± √400) / 2,

x = (12 ± 20) / 2.

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: x = (12 + 20) / 2 = 16.

Случай 2: x = (12 - 20) / 2 = -4.

Теперь у нас есть две возможные точки разрыва нашего исходного неравенства. Давайте проверим интервалы между ними и определим, где неравенство выполняется.

1. Пусть x < -4: В этом случае (5x + 20) и (x + 4)^2 оба положительны. Таким образом, мы можем безопасно делить обе стороны неравенства на логарифм, не меняя направление неравенства:

log(x, 4(5x + 20)) <= log(x, (x + 4)^2).

Поскольку логарифмы с одинаковыми основаниями, то аргументы должны быть равными:

4(5x + 20) = (x + 4)^2.

Мы уже решили это уравнение выше. Мы видим, что x = -4 является решением этого уравнения.

2. Пусть -4 < x < 16:

В этом интервале (5x + 20) положительно, но (x + 4)^2 отрицательно (поскольку x + 4 отрицательно). Поэтому мы должны поменять направление неравенства при делении обеих сторон на логарифм:

log(x, 4(5x + 20)) >= log(x, (x + 4)^2).

Снова, аргументы должны быть равными:

4(5x + 20) = (x + 4)^2.

Мы уже решили это уравнение выше. В этом интервале также x = -4 является решением.

3. Пусть x > 16:

В этом случае (5x + 20) и (x + 4)^2 оба положительны. Мы можем безопасно делить обе стороны неравенства на логарифм:

log(x, 4(5x + 20)) <= log(x, (x + 4)^2).

Снова, аргументы должны быть равными:

4(5x + 20) = (x + 4)^2.

Мы уже решили это уравнение выше, и x = 16 является единственным решением в этом интервале.

Итак, у нас есть две точки разрыва x = -4 и x = 16, и мы видим, что неравенство выполняется в этих точках.

Теперь давайте проверим интервалы между точками разрыва:

- Берем x < -4: Неравенство выполняется. - Берем -4 < x < 16: Неравенство не выполняется. - Берем x > 16: Неравенство выполняется.

Итак, решение данного неравенства - это x < -4 и x > 16.