Question

Найти производные функций: б) {x=arctgt, y=ln⁡√t/(1+t) Смотреть ответ sharmelly11 sharmelly11 Ответ: ПОДРОБНОЕ решение производной. ... Функция - экспонента от x (что и e^x). log(x) or ln(x). Натуральный логарифм от x (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)). Пошаговое объяснение:

Answer 1

Давайте найдем производную функции y по переменной t, где x = arctan(t) и y = ln(√t / (1 + t)).

Исходная функция: x = arctan(t) y = ln(√t / (1 + t))

Для начала, найдем производную x по t: x = arctan(t) dx/dt = 1 / (1 + t^2)

Теперь найдем производную y по t, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): y = ln(√t / (1 + t))

Для этого разобъем функцию на составляющие: u = √t v = 1 + t

Теперь найдем производные u и v по t: du/dt = (1/2) * t^(-1/2) dv/dt = 1

Применим цепное правило: dy/dt = (1/v) * du/dt - (u/v^2) * dv/dt

Подставим значения u, v, du/dt и dv/dt: dy/dt = (1 / (1 + t)) * (1/2) * t^(-1/2) - (√t / (1 + t)^2)

Упростим выражение: dy/dt = (1 / 2√t) - (√t / (1 + t)^2)

Теперь можем подставить значение производной dx/dt и упростить результат: dy/dt = (1 / 2√t) - (√t / (1 + t)^2) * (1 / (1 + t^2))

dy/dt = (1 / 2√t) - (t^(3/2) / (1 + t)^2) * (1 / (1 + t^2))

Итак, производная функции y по переменной t: dy/dt = (1 / 2√t) - (t^(3/2) / (1 + t)^2) * (1 / (1 + t^2))

Это и есть искомая производная функции y по переменной t.