Question

В первой урне 1 белый и 2 черных шара, а во второй 100 белых и 100 черных шаров. Из второй урны переложили в первую один шар, а затем из первой вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар находился ранее во второй урне, если известно, что он белый?

Answer 1

Вероятность вытащить из второй урны белый шар

p = 100/ (100+100) = 1/2

В эксперименте из второй урны вытащили 1/2 белого шара и переложили в первую . Там стало  3/2  белого шара из 4 .

Вероятность вытащить оттуда белый шар в результате эксперимента

P ( Б ) = (3/2) / 4 = 3/8

По формуле Байеса вероятность того что вынутый шар находился ранее во второй урне при условии что вытащен белый шар равна

P ( 2 | Б ) = P ( Б | 2 ) * P ( 2 ) /  P ( Б )

Р ( Б | 2 ) - Вероятность белого шара приусловии что он из второй урны = p=1/2

P( 2 ) - Вероятность что вытащенный шар из второй урны - в первой урне всегда один шар из четырех из второй урны = 1/4

Итого

P ( 2 | Б ) = (1/2) * (1/4) /  (3/8) = 1/3

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся с вероятностями шаров в обеих урнах и действиями, которые были совершены.

Известно, что в первой урне было 1 белый и 2 черных шара, а во второй урне было 100 белых и 100 черных шаров. Давайте обозначим события следующим образом:

A - событие вынуть белый шар из первой урны. B - событие вынуть белый шар из второй урны.

Мы хотим найти вероятность того, что шар, вынутый из первой урны, ранее находился во второй урне (т.е., P(B|A)).

Сначала давайте найдем вероятность события A, то есть вероятность того, что мы вынем белый шар из первой урны. В первой урне всего 1 белый шар и 2 черных, поэтому вероятность события A можно выразить следующим образом:

P(A) = (количество белых шаров в первой урне) / (общее количество шаров в первой урне) = 1 / (1 + 2) = 1/3

Теперь давайте найдем вероятность события B, то есть вероятность того, что мы вынем белый шар из второй урны. Во второй урне всего 100 белых шаров и 100 черных, поэтому вероятность события B можно выразить следующим образом:

P(B) = (количество белых шаров во второй урне) / (общее количество шаров во второй урне) = 100 / (100 + 100) = 1/2

Теперь нам нужно найти вероятность события B при условии события A, то есть P(B|A) - вероятность того, что вынутый белый шар из первой урны ранее находился во второй урне. Мы можем использовать формулу условной вероятности:

P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A)

P(B ∩ A) - вероятность того, что произойдут и событие B, и событие A. В данном случае, это вероятность того, что белый шар находился во второй урне и его вынули из первой урны. Так как мы перекладываем 1 белый шар из второй урны в первую, то P(B ∩ A) равно вероятности выбора белого шара из второй урны, что мы уже рассчитали как P(B) = 1/2.

Теперь мы можем найти P(B|A):

P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A) = (1/2) / (1/3) = (1/2) * (3/1) = 3/2 = 1.5

Итак, вероятность того, что вынутый шар находился ранее во второй урне, если известно, что он белый, равна 1.5 или 150%. Так как вероятность не может быть больше 1 (100%), возможно, произошла ошибка в формулировке задачи или расчетах.