Question

1) В первой урне 1 белый и 2 черных шара, во второй – 100 белых и 100 черных шара. Из второй урны переложили в первую один шар, затем из первой урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынули шар, ранее находившийся во второй урне, если известно, что он черный. 2) Некоторая деталь производиться на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем второго. Доля брака на первом заводе 0,3, на втором 0,2. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь выпущена первым заводом? 3) Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных; от 8 до 10 нестандартных; хотя бы 1 нестандартная.

Answer 1

Ответ:

1. 0.5

2. Хз

3. 0.2 вроде

Answer 2

1. Пусть событие A - это вынуть черный шар, который ранее находился во второй урне, а событие B - это вынуть черный шар. Мы хотим найти вероятность события A при условии события B (условная вероятность P(A|B)).

Изначально в первой урне 1 белый и 2 черных шара, а во второй 100 белых и 100 черных. После того как во вторую урну добавили один черный шар, общее число шаров в ней стало 201.

Теперь вычислим вероятности событий A и B:

P(B) = (число черных шаров в первой урне / общее число шаров в первой урне) * (число черных шаров во второй урне / общее число шаров во второй урне) = (2 / 3) * (101 / 201) ≈ 0.3358

P(A) = (число черных шаров во второй урне / общее число шаров во второй урне) = 100 / 201 ≈ 0.4975

Теперь вычислим условную вероятность P(A|B) с помощью формулы:

P(A|B) = P(A и B) / P(B)

P(A и B) = P(A) * P(B|A) P(B|A) = (число черных шаров в первой урне / общее число шаров в первой урне) = 2 / 3

P(A и B) = P(A) * P(B|A) ≈ 0.4975 * (2 / 3) ≈ 0.3317

Теперь вычислим P(A|B):

P(A|B) = P(A и B) / P(B) ≈ 0.3317 / 0.3358 ≈ 0.9868

Итак, вероятность того, что вынутый черный шар ранее находился во второй урне, при условии что был вынут черный шар, составляет примерно 0.9868.

2. Пусть событие C - это деталь выпущена первым заводом, а событие D - это деталь бракована.

Мы хотим найти вероятность события C при условии события D (условная вероятность P(C|D)).

Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем второго. То есть, если обозначить объем продукции второго завода как V, то объем продукции первого завода будет 4V.

Доля брака на первом заводе 0,3, на втором 0,2.

P(D|C) = 0.3 (вероятность брака, если деталь выпущена первым заводом) P(D|¬C) = 0.2 (вероятность брака, если деталь выпущена вторым заводом, где ¬C обозначает "не C", то есть деталь не выпущена первым заводом)

Теперь мы можем использовать формулу Байеса для вычисления P(C|D):

P(C|D) = (P(D|C) * P(C)) / P(D)

P(D) = P(D|C) * P(C) + P(D|¬C) * P(¬C) P(¬C) = 1 - P(C)

P(C) = 4V / (4V + V) = 4/5 P(¬C) = 1 - P(C) = 1/5

P(D) = 0.3 * (4/5) + 0.2 * (1/5) = 0.28

Теперь можем вычислить P(C|D):

P(C|D) = (P(D|C) * P(C)) / P(D) = (0.3 * 4/5) / 0.28 ≈ 0.8571

Итак, вероятность того, что бракованная деталь была выпущена первым заводом, составляет примерно 0.8571.

3. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.004. В данном случае можно использовать биномиальное распределение для вычисления вероятности количества успехов (в данном контексте - изготовления нестандартных деталей) среди большой выборки (1000 деталей).

a) Вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных:

P(X = 5) = C(1000, 5) * (0.004)^5 * (1 - 0.004)^(1000 - 5)

где C(n, k) - число сочетаний из n по k (n выбираемых элементов k раз).

b) Вероятность того, что среди 1000 деталей будет от 8 до 10 нестандартных:

P(8 ≤ X ≤ 10) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)

c) Вероятность того, что среди 1000 деталей будет хотя бы 1 нестандартная:

Это можно рассчитать как 1 минус вероятность отсутствия нестандартных деталей:

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

Для вычисления этих вероятностей, вы можете использовать формулу для биномиального распределения или программное средство, поддерживающее такие расчеты.