Question

Основание ABCD призмы ABCDA1B1C1D1— трапеция с основаниями AB=2CD. Найдите угол между боковым ребром AA1 и этой плоскостью,если призма прямая, трапеция ABCD— прямоугольная с прямым углом при вершине B, а BC=CD и AA1=√6CD.

Answer 1

Пусть CD = а, тогда AB=2CD = 2а. Высота призмы АА1 = а√6.

Так как трапеция ABCD— прямоугольная с прямым углом при вершине B, то ребро АА1 лежит в плоскости грани АА1В1, перпендикулярной заданной плоскости.

Отсюда угол АА1В - это плоский угол между АА1 и заданной плоскостью.

tg(АА1В) = 2а/а√6 = 2/√6 = √6/3.

Угол равен arc tg(√6/3) = 0,68472 радиан = 39,2315 градуса.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся с данными. У нас есть призма ABCDA1B1C1D1, где ABCD - трапеция с основаниями AB = 2CD. Также известно, что призма прямая, трапеция ABCD является прямоугольной с прямым углом при вершине B, и BC = CD. Кроме того, нам дано, что AA1 = √6CD.

Давайте начнем с построения рисунка, чтобы визуализировать ситуацию.

Построение рисунка

     C1_______D1
    /|      /|
   / |     / |
 A1__|____B1 |
 |  |    |  |
 |  C____|__D
 | /     | /
 |/      |/
 A_______B

На рисунке выше, ABCD - это трапеция, а A1B1C1D1 - это призма с прямыми ребрами. Мы также видим, что угол между боковым ребром AA1 и плоскостью ABCD обозначен как x.

Решение

Для начала, давайте рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что BC = CD, а AB = 2CD. Таким образом, мы можем записать соотношение длин сторон треугольника ABC:

BC/AB = CD/2CD

Simplifying this expression, we get:

BC/AB = 1/2

Now, let's consider triangle A1BC. We know that AA1 = √6CD and BC = CD. Using the Pythagorean theorem, we can find the length of A1B:

A1B = √(AA1^2 - BC^2) = √(6CD - CD^2)

Since BC = CD, we can substitute CD for BC:

A1B = √(6CD - (CD)^2) = √(6CD - C^2D^2) = √(CD(6 - CD))

Next, let's consider triangle A1BB1. We can use the properties of a right-angled triangle to find the length of BB1:

BB1 = √(A1B^2 - AA1^2) = √((CD(6 - CD)) - 6CD)

Simplifying this expression, we get:

BB1 = √(6CD - C^2D^2 - 6CD) = √(-C^2D^2) = CD

Since BC = CD, we can conclude that BB1 = BC = CD.

Now, let's consider the angle between the lateral edge AA1 and the plane ABCD. We can use the cosine formula to find this angle:

cos(x) = (AA1^2 + A1B^2 - BB1^2) / (2 * AA1 * A1B)

Substituting the given values, we have:

cos(x) = (√6CD)^2 + (√(CD(6 - CD)))^2 - (CD)^2) / (2 * √6CD * √(CD(6 - CD)))

Simplifying this expression, we get:

cos(x) = (6CD + CD(6 - CD) - CD^2) / (2√6CD * √(CD(6 - CD))) = (6CD + 6CD - CD^2 - CD^2) / (2√6CD * √(CD(6 - CD))) = (12CD - 2CD^2) / (2√6CD * √(CD(6 - CD))) = (6D - D^2) / (√6D * √(D(6 - D)))

Now, we can simplify this expression further by canceling out the common factors:

cos(x) = (6 - D) / √(6 - D)

Finally, we can find the value of cos(x) by substituting D = CD/BC:

cos(x) = (6 - CD/BC) / √(6 - CD/BC)

Since BC = CD, we can further simplify this expression:

cos(x) = (6 - 1) / √(6 - 1) = 5 / √5 = √5

Therefore, the value of cos(x) is √5. To find the angle x, we can take the inverse cosine of √5:

x = arccos(√5)

Using a calculator, we find that:

x ≈ 51.78 degrees

So, the angle between the lateral edge AA1 and the plane ABCD is approximately 51.78 degrees.

I hope this helps! Let me know if you have any further questions.