Question

Решите дифференциальное уравнение : y" + 6y' + 9y = (48x + 8)e^x

Answer 1

$y''+6y'+9y=(48x+8)e^x$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.

$y_{OH}=Y_{OO}+\overline{y}_{CH}$

Решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y''+6y'+9y=0$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\lambda^2+6\lambda+9=0\\(\lambda+3)^2=0\\\lambda_1=\lambda_2=-3$

Запишем общее решение однородного уравнения:

$Y=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}$

Частное решение будем искать в виде:

$\overline{y}=(Ax+B)e^x$

Найдем первую и вторую производную:

$\overline{y}'=(Ax+B)'e^x+(Ax+B)(e^x)'=Ae^x+(Ax+B)e^x\\\overline{y}''=(Ae^x)'+(Ax+B)'e^x+(Ax+B)(e^x)'=Ae^x+Ae^x+(Ax+B)e^x=\\=2Ae^x+(Ax+B)e^x$

Подставим значения функции и первых двух производных в исходное уравнение:

$2Ae^x+(Ax+B)e^x+6(Ae^x+(Ax+B)e^x)+9((Ax+B)e^x)=(48x+8)e^x$

Сократим на $e^x$:

$2A+(Ax+B)+6(A+(Ax+B))+9(Ax+B)=48x+8\\2A+Ax+B+6(A+Ax+B)+9(Ax+B)=48x+8\\2A+Ax+B+6A+6Ax+6B+9Ax+9B=48x+8\\16Ax+8A+16B=48x+8$

Так как левая и правая часть равны, то коэффициенты при х и свободные члены также равны. Получаем систему:

$\left\{\begin{array}{l} 16A=48 \\ 8A+16B=8 \end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} A=3 \\ A+2B=1 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A=3 \\ 3+2B=1 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A=3 \\ 2B=-2 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A=3 \\ B=-1 \end{array}$

Тогда частное решение имеет вид:

$\overline{y}=(3x-1)e^x$

Общее решение заданного уравнения:

$y=Y+\overline{y}=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}+(3x-1)e^x$

Ответ: $y=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}+(3x-1)e^x$

Answer 2

Давайте решим данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Уравнение имеет следующий вид:

y'' + 6y' + 9y = (48x + 8)e^x

Чтобы решить это уравнение, мы сначала найдем общее решение однородной части уравнения, а затем найдем частное решение неоднородной части.

1. Однородная часть уравнения:

y'' + 6y' + 9y = 0

Для решения однородной части, давайте найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 6r + 9 = 0

Мы видим, что это уравнение имеет корень r = -3 с кратностью 2 (поскольку дискриминант равен нулю). Общее решение однородной части будет иметь вид:

y_h(x) = (C1 + C2x)e^(-3x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Частное решение неоднородной части:

Теперь давайте найдем частное решение для неоднородной части уравнения. Мы видим, что правая часть содержит полином первой степени и экспоненту, поэтому предполагаем, что частное решение имеет следующий вид:

y_p(x) = (Ax + B)e^x

Теперь найдем производные:

y_p'(x) = (A + Ax + B)e^x y_p''(x) = (A + 2A + Ax + B)e^x

Подставим частное решение и его производные в исходное уравнение:

(A + 2A + Ax + B)e^x + 6(A + Ax + B)e^x + 9(Ax + B)e^x = (48x + 8)e^x

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x и экспоненте:

1. Для членов без x: (2A + B)e^x = 8e^x

Отсюда следует, что 2A + B = 8.

2. Для членов с x: (A + 6A + 9Ax)e^x = 48xe^x

Отсюда следует, что 7Ax = 48x, что приводит к A = 48/7.

Из уравнения 1 мы уже знаем, что 2A + B = 8, и подставив значение A, мы можем найти B:

2(48/7) + B = 8 96/7 + B = 8

B = 8 - 96/7 B = 56/7 - 96/7 B = -40/7

Итак, A = 48/7 и B = -40/7.

3. Теперь, когда мы нашли значения A и B, можем записать частное решение:

y_p(x) = (48/7)x - 40/7)e^x

Теперь общее решение исходного уравнения будет суммой общего решения однородной части и частного решения неоднородной части:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = (C1 + C2x)e^(-3x) + ((48/7)x - 40/7)e^x

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.