Question

Log2(x+4)+log2(x+1)=1+log2(5)

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

По свойству логарифма: logₐb + logₐc = logₐ(b * c). Логично, что 1 = log₂2. 
Существование логарифма: x > -4, x > -1 ⇒ x > -1. 
Значит, log₂(x+4) + log₂(x+1) = 1 + log₂(5) ⇔ log₂((x + 4)(x + 1)) = log₂10. 
Т.к. логарифмическая функция каждое свое значение принимает единожды, 
(x + 4)(x + 1) = 10 
x² + 4x + x + 4 = 10
x² + 5x - 6 = 0
x = 1 или x = -6 - не подходит по условию на логарифм. 

Ответ: x = 1. 

Answer 3

Для решения данного уравнения, мы можем использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте рассмотрим каждую часть по отдельности.

Сначала применим свойство логарифма, согласно которому $$\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$$. Применяя это свойство к уравнению, получаем:

$$\log_2(x+4) + \log_2(x+1) = 1 + \log_2(5)$$

Теперь мы можем объединить логарифмы слева от знака равенства, используя свойство логарифма:

$$\log_2((x+4)(x+1)) = 1 + \log_2(5)$$

Далее, применим свойство логарифма, согласно которому $$\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$$. В данном случае, мы можем применить это свойство к правой стороне уравнения:

$$\log_2((x+4)(x+1)) = \log_2(2) + \log_2(5)$$

Поскольку $$\log_2(2) = 1$$, мы можем упростить уравнение:

$$\log_2((x+4)(x+1)) = \log_2(10)$$

Теперь, согласно определению логарифма, если $$\log_a(b) = \log_a(c)$$, то $$b = c$$. Применяя это свойство к уравнению, получаем:

$$(x+4)(x+1) = 10$$

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

$$x^2 + 5x + 4 = 10$$

После переноса всех членов в одну сторону, получаем:

$$x^2 + 5x - 6 = 0$$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию, квадратное уравнение, или формулу дискриминанта. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта:

Для квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$, формула дискриминанта имеет вид:

$$D = b^2 - 4ac$$

В нашем случае, $$a = 1$$, $$b = 5$$ и $$c = -6$$. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)$$ $$D = 25 + 24$$ $$D = 49$$

Теперь, рассмотрим возможные случаи, исходя из значения дискриминанта.

1. Если $$D > 0$$, то уравнение имеет два различных решения. 2. Если $$D = 0$$, то уравнение имеет одно решение с кратностью 2. 3. Если $$D < 0$$, то уравнение не имеет решений.

В нашем случае, $$D = 49$$, что означает, что уравнение имеет два различных решения.

Для нахождения этих решений, используем формулу квадратного корня:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения в формулу:

$$x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1}$$

Упростим:

$$x = \frac{-5 \pm 7}{2}$$

Таким образом, получаем два решения:

$$x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = -6$$

Таким образом, уравнение $$\log_2(x+4) + \log_2(x+1) = 1 + \log_2(5)$$ имеет два решения: $$x = 1$$ и $$x = -6$$.