Question

Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству x²-|5x-3|< x+2

Answer 1

Перепишем неравенство в виде

$x^2 - x - 2 < |5x - 3|$.

Если левая часть неравенства отрицательная, то неравенство выполнено: модуль числа – неотрицательная величина – больше любого отрицательного числа.

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) < 0\\ -1 < x < 2$

Если левая часть неравенства неотрицательная (так будет при x ≤ -1 или x ≥ 2), то обе части неравенства неотрицательные, можно перейти к равносильному неравенству, возведя левую и правую часть в квадрат. Используя факт, что квадрат модуля числа равен квадрату самого числа, и раскладывая разность квадратов, получаем:

$(x^2 - x - 2)^2 < |5x - 3|^2\\ (x^2 - x - 2)^2 - (5x - 3)^2 < 0\\ (x^2 - x - 2 + 5x - 3)(x^2 - x - 2 - 5x + 3) < 0\\ (x^2 + 4x - 5)(x^2 - 6x + 9 - 8) < 0\\ (x + 5)(x - 1)((x - 3)^2 - (2\sqrt2)^2) < 0\\ (x + 5)(x - 1)(x - (3 - 2\sqrt2))(x - (3 + 2\sqrt2)) < 0$

Последнее неравенство легко решить методом интервалов, получим

$x\in(-5;3-2\sqrt2)\cup(1;3+2\sqrt2)$

К этому ответу необходимо добавить промежуток (-1; 2), найденный ранее. Окончательный ответ: $x\in(-5;3+2\sqrt{2})$

Целые решения неравенства: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 – всего 10 целых решений

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, мы должны разбить его на два случая: один, когда выражение внутри модуля положительно, и другой, когда оно отрицательно.

Случай 1: 5x-3 ≥ 0 Если 5x-3 ≥ 0, то |5x-3| = 5x-3. Теперь мы можем переписать неравенство:

x² - (5x-3) < x+2

Раскрывая скобки, получаем:

x² - 5x + 3 < x + 2

Переносим все переменные на одну сторону и упрощаем:

x² - 6x + 1 < 0

Теперь решим это квадратное неравенство с помощью графика или алгебры. Но поскольку нам нужно найти целые числа, мы можем использовать метод проверки значений. Переберем все возможные целые значения x, чтобы увидеть, какие из них удовлетворяют неравенству:

x = -2: (-2)² - 6(-2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17 > 0 (не подходит) x = -1: (-1)² - 6(-1) + 1 = 1 + 6 + 1 = 8 > 0 (не подходит) x = 0: (0)² - 6(0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 > 0 (не подходит) x = 1: (1)² - 6(1) + 1 = 1 - 6 + 1 = -4 < 0 (подходит) x = 2: (2)² - 6(2) + 1 = 4 - 12 + 1 = -7 < 0 (подходит)

Таким образом, значения x = 1 и x = 2 удовлетворяют неравенству x² - |5x-3| < x+2, если 5x-3 ≥ 0.

Случай 2: 5x-3 < 0 Если 5x-3 < 0, то |5x-3| = -(5x-3) = -5x + 3. Теперь мы можем переписать неравенство:

x² - (-5x+3) < x+2

Раскрывая скобки, получаем:

x² + 5x - 3 < x + 2

Переносим все переменные на одну сторону и упрощаем:

x² + 4x - 5 < 0

Опять же, решим это квадратное неравенство, используя проверку значений, чтобы определить, какие из них удовлетворяют неравенству:

x = -2: (-2)² + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 < 0 (подходит) x = -1: (-1)² + 4(-1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8 < 0 (подходит) x = 0: (0)² + 4(0) - 5 = 0 - 5 = -5 < 0 (подходит) x = 1: (1)² + 4(1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0 ≥ 0 (не подходит) x = 2: (2)² + 4(2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 ≥ 0 (не подходит)

Таким образом, значения x = -2, x = -1 и x = 0 удовлетворяют неравенству x² - |5x-3| < x+2, если 5x-3 < 0.

Итак, суммируя результаты двух случаев, мы получаем, что целые числа x = 1, x = 2, x = -2, x = -1 и x = 0 удовлетворяют неравенству x² - |5x-3| < x+2.