Question

Докажите, что неравенство: 2(x-y)^2+2(x-1)^2+2y+1 < 0 НЕ имеет решений

Answer 1

Для доказательства покажем, что правая часть всегда больше 0.

Для этого раскроем скобки и выделим полные квадраты.

$2 {(x - y)}^{2} + 2 {(x - 1)}^{2} + 2y + 1 = 2( {x}^{2} - 2xy + {y}^{2} ) + 2( {x}^{2} - 2x + 1) + 2y + 1 = 2 {x}^{2} - 4xy + 2 {y}^{2} + 2{x}^{2} - 4x + 2 + 2y + 1 = 4 {x}^{2} - 4xy + 2 {y}^{2} - 4x + 2y + 3$

Далее распишем полученной выражение следующим образом:

$4 {x}^{2} - 2xy - 2x - 2xy + {y}^{2} + y + y - 2x + y + 1 + {y}^{2} + 2$

начинаем выносить за скобки

$- 2x( - 2x + y + 1) + y( - 2x + y + 1) - 2x + y + 1 + {y}^{2} + 2 = ( - 2x + y + 1)( - 2x + y + 1) + {y}^{2} + 2 = {( - 2x + y + 1)}^{2} + {y}^{2} + 2$

Как можем увидеть полученное выражение всегда больше нуля, следовательно, данное неравномерно никогда не выполняется

Answer 2

Для доказательства того, что данное неравенство не имеет решений (то есть не выполняется ни для каких значений x и y), мы можем воспользоваться методом полного квадрата.

Перепишем исходное неравенство в виде: 2(x-y)^2 + 2(x-1)^2 + 2y + 1 < 0

Разделим обе части неравенства на 2, чтобы получить более удобную форму:

(x-y)^2 + (x-1)^2 + y + 1/2 < 0

Очевидно, что каждое слагаемое в левой части неравенства является неотрицательным, так как квадрат любого числа неотрицателен, а значение y также неотрицательно. Мы имеем сумму неотрицательных слагаемых, которая должна быть меньше 0, что невозможно. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.