Question

Помогите пожалуйста найти производную! Нашла сама, сверила с программой - не сходится :с Если можно, с подробным решениеy=㏑(1-tg(x/2))/(1+tg(x/2)

Answer 1

Ответ: y`=-tg(x).

Пошаговое объяснение:

Сделаем преобразования.

1. Сначала преобразуем числитель:

1-tg(x/2)=1*(sin(x/2)/cos(x/2))=(cos(x/2)-sin(x/2))/cos(x/2).

2. Теперь преобразуем знаменатель:

1+tg(x/2)=1+(sin(x/2)/cos(x/2))=(cos(x/2)+sin(x/2))/cos(x/2).

3. Разделим числитель на знаменатель:

=(cos(x/2)-sin(x/2)/(cos(x/2)+sin(x/2).

4. Умножим одновременно числитель и знаменатель

на (cos(x/2)+sin(x/2)    ⇒

=(cos²(x/2)-sin²(x/2))/(cos²(x/2)+sin²(x/2))=cos(x)/1=cos(x).

Таким образом, ln((1-tg(x/2))/(1+tg(x/2)))=ln(cos(x)).

y`=(ln(cos(x))`=(cos(x))`/cos(x)=-sin(x)/cos(x)=-tg(x).

Answer 2

Для нахождения производной функции y = ㏑(1 - tg(x/2))/(1 + tg(x/2)) мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования функции, обратной к тангенсу.

Нахождение производной:

1. Разложим функцию y на две составляющие: y = ㏑(1 - tg(x/2)) и y = 1 + tg(x/2). 2. Найдем производную каждой составляющей по отдельности.

# Производная первой составляющей:

- Применим правило дифференцирования сложной функции. - Обозначим u = 1 - tg(x/2) и v = ㏑u. - Найдем производную функции v = ㏑u. - Применим правило дифференцирования функции, обратной к экспоненте. - Получим v' = (1/u) * u'. - Найдем производную функции u = 1 - tg(x/2). - Применим правило дифференцирования разности. - Получим u' = 0 - (1/cos^2(x/2)) * (1/2). - Подставим найденные значения в выражение для производной v'. - Получим v' = (1/(1 - tg(x/2))) * (-(1/cos^2(x/2)) * (1/2)). - Упростим выражение для v'. - Получим v' = -(1/(2cos^2(x/2)(1 - tg(x/2)))).

# Производная второй составляющей:

- Применим правило дифференцирования функции, обратной к тангенсу. - Обозначим w = tg(x/2) и z = 1 + w. - Найдем производную функции z = 1 + w. - Применим правило дифференцирования суммы. - Получим z' = 0 + w'. - Найдем производную функции w = tg(x/2). - Применим правило дифференцирования тангенса. - Получим w' = (1/cos^2(x/2)) * (1/2). - Подставим найденные значения в выражение для производной z'. - Получим z' = (1/cos^2(x/2)) * (1/2). - Упростим выражение для z'. - Получим z' = (1/(2cos^2(x/2)).

# Общая производная:

- Обозначим y' = (v' * z' - v * z') / z^2. - Подставим значения производных v' и z' в выражение для y'. - Получим y' = (-(1/(2cos^2(x/2)(1 - tg(x/2)))) * (1/(2cos^2(x/2))) - ㏑(1 - tg(x/2))/(1 + tg(x/2)) * (1/(2cos^2(x/2)))) / (1 + tg(x/2))^2. - Упростим выражение для y'. - Получим y' = (-1/(4cos^4(x/2)(1 - tg(x/2))) - ㏑(1 - tg(x/2))/(2cos^2(x/2)(1 + tg(x/2))^2.

Таким образом, производная функции y = ㏑(1 - tg(x/2))/(1 + tg(x/2)) равна y' = (-1/(4cos^4(x/2)(1 - tg(x/2))) - ㏑(1 - tg(x/2))/(2cos^2(x/2)(1 + tg(x/2))^2).

Пожалуйста, проверьте полученное решение и убедитесь, что оно совпадает с вашими ожиданиями. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!