Question

Решите неравенство [x]*{x} < x - 1.

Answer 1

$\left \lfloor x \right \rfloor\left \{ x \right \} < x-1\Leftrightarrow \lfloor x\rfloor\{x\} < \lfloor x\rfloor+\{x\}-1\Leftrightarrow (\lfloor x\rfloor-1)(\{x\}-1) < 0\Rightarrow\\\Rightarrow \lfloor x\rfloor > 1\Rightarrow x\geq 2$

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала разберемся с его частями. В данном случае у нас есть функция [x], которая обозначает целую часть числа x, и фигурные скобки {x}, которые обозначают дробную часть числа x.

1. Первое, что нужно учесть, это определение целой и дробной частей числа: - Целая часть числа x обозначается как [x] и представляет собой наибольшее целое число, которое меньше или равно x. - Дробная часть числа x обозначается как {x} и представляет собой разницу между числом x и его целой частью.

2. Теперь давайте рассмотрим неравенство: [x]{x} < x - 1

3. Рассмотрим два случая:

Случай 1: x - целое число (целая часть x равна x).

В этом случае [x] = x, и {x} = 0 (потому что у целого числа нет дробной части).

Теперь мы можем переписать неравенство: x * 0 < x - 1

Так как любое число, умноженное на 0, равно 0, и ноль всегда меньше любого положительного числа, данное неравенство верно для этого случая.

Случай 2: x - нецелое число (целая часть x меньше x).

В этом случае [x] меньше x, и {x} больше 0.

Теперь мы можем переписать неравенство: [x]{x} < x - 1

Поскольку [x] меньше x, мы можем разделить обе стороны неравенства на [x] (при условии, что [x] положительно, что верно для всех нецелых чисел x): {x} < (x - 1) / [x]

Теперь мы видим, что дробная часть {x} должна быть меньше чего-то положительного. Это верно, так как дробная часть всегда находится в интервале от 0 до 1.

Итак, для всех значений x, неравенство [x]{x} < x - 1 выполняется.