Question

Решите Дифференциальные уравнения : 1)dy/dx=sqrt(x*y) при y(1)=0 2)y^2-x(dy/dx)=0 при y(1)=1

Answer 1

1) dy/√y=√xdx

∫dy/√y=∫√xdx

2√y=2x√x/3+2c

√y=x√x/3+c

0=1/3+c⇒c=-1/3

√y=(x√x-1)/3+c

2) y²-x(dy/dx)=0

∫dy/y²=∫dx/x

-1/y=㏑IxI+c

-1=c

y*(㏑IxI-1)=-1

Answer 2

Первое дифференциальное уравнение: dy/dx = √(xy), y(1) = 0

Чтобы решить данное уравнение, мы можем воспользоваться методом разделения переменных.

1. Разделим уравнение на y: dy/√y = √x dx

2. Проинтегрируем обе части уравнения: ∫ 1/√y dy = ∫ √x dx

Для левой части уравнения: ∫ 1/√y dy = 2√y

Для правой части уравнения: ∫ √x dx = (2/3)x^(3/2) + C

Где C - произвольная постоянная.

3. Подставим значения обоих интегралов обратно в уравнение: 2√y = (2/3)x^(3/2) + C

4. Применим начальное условие y(1) = 0: 2√0 = (2/3)(1)^(3/2) + C 0 = (2/3) + C C = -2/3

5. Подставим значение С обратно в исходное уравнение и решим его относительно y: 2√y = (2/3)x^(3/2) - 2/3

Для этого возведем обе части уравнения в квадрат: (2√y)^2 = [(2/3)x^(3/2) - 2/3]^2

4y = 4/9 x^3 - 8/9 x^(3/2) + 4/9

Упростим уравнение: 4y = 4/9 x^(3/2) (x^(3/2) - 2) + 4/9

Получили итоговое решение первого дифференциального уравнения: y = (1/9) x^(3/2) (x^(3/2) - 2) + 1/9

Второе дифференциальное уравнение: y^2 - x(dy/dx) = 0, y(1) = 1

Также данный вид дифференциального уравнения можно решить методом разделения переменных.

1. Разделим уравнение на y^2: 1 - x(dy/dx) / y^2 = 0

2. Заменим dy/dx на y': 1 - x(y'/y^2) = 0

3. Переставим переменные и разделим на y': (y^2) / (y^2 - x) dy = dx

4. Проинтегрируем обе части уравнения: ∫ (y^2) / (y^2 - x) dy = ∫ dx

Для левой части уравнения мы также можем использовать частное случае задачи о разложении на простые дроби. После разложения и интегрирования мы получим:

∫ (y^2) / (y^2 - x) dy = y + 2√(y^2 - x) - 2√x + C

Где C - произвольная постоянная.

5. Подставим значения обоих интегралов обратно в уравнение: y + 2√(y^2 - x) - 2√x + C = x + D

Где D - другая произвольная постоянная.

6. Применим начальное условие y(1) = 1: 1 + 2√(1 - 1) - 2√1 + C = 1 + D 1 + C = 1 + D

7. Изменяя C на D, получим: C = D Так как мы получили одинаковые константы, мы можем назвать их одной буквой, например, А.

Таким образом, итоговое решение второго дифференциального уравнения: y + 2√(y^2 - x) - 2√x + A = x