Question

Доказать тождество: sin a +sin 4a/cos 2a - cos 4a= ctg a

Answer 1

Ctg^2a-tg^2a=cos^2a/sin^2a-sin^2a/cos^2a=(cos^4a-sin^4a)/cos^2a*sin^2a=cos2a/(sinacosa)^2(cos^2a-sin^2a)/(cos2a)/(sinacosa)^2=sin^2a*cos^2a

Answer 2

Для доказательства тождества sin a + sin 4a/cos 2a - cos 4a = ctg a, можно использовать следующие шаги:

1. Применить формулу сложения синусов к sin a + sin 4a и получить sin a + sin 4a = 2 sin (a + 2a)/2 cos (a - 2a)/2 = 2 sin (3a/2) cos (-a/2). 2. Применить формулу разности косинусов к cos 2a - cos 4a и получить cos 2a - cos 4a = -2 sin (2a + 4a)/2 sin (2a - 4a)/2 = -2 sin (3a) sin (-a). 3. Поделить выражение для sin a + sin 4a на выражение для cos 2a - cos 4a и получить (sin a + sin 4a)/(cos 2a - cos 4a) = - (sin (3a/2) cos (-a/2))/(sin (3a) sin (-a)) = - cot (3a/2) csc (-a/2). 4. Использовать свойства четности и нечетности тригонометрических функций и получить - cot (3a/2) csc (-a/2) = cot (3a/2) csc (a/2). 5. Использовать формулу двойного аргумента для котангенса и получить cot (3a/2) csc (a/2) = (cot^2(a/4) - 1)/(2 cot (a/4)) csc (a/2). 6. Использовать связь между котангенсом и синусом одного угла и получить (cot^2(a/4) - 1)/(2 cot (a/4)) csc (a/2) = ((1/sin^2(a/4)) - 1)/(2/sin(a/4)) csc (a/2) = ((1 - sin^2(a/4))/sin^2(a/4))/(sin(a/4)/sin(a/4)) csc (a/2). 7. Сократить дроби и получить ((1 - sin^2(a/4))/sin^2(a/4))/(sin(a/4)/sin(a/4)) csc (a/2) = ((1 - sin^2(a/4))/sin^2(a/4)) csc (a). 8. Использовать основное тригонометрическое тождество и получить ((1 - sin^2(a/4))/sin^2(a/4)) csc (a) = ((cos^2(a/4))/sin^2(a/4)) csc (a) = ctg a.

Таким образом, доказано тождество sin a + sin 4a/cos 2a - cos 4a = ctg a.