Question

Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 60 градусов. Высота конуса 12 см. Найдите объём конуса (Решение и чертеж)

Answer 1

Надеюсь, что верно)

Answer 2

Для нахождения объёма конуса, наклонённого под углом 60 градусов к плоскости его основания, мы можем воспользоваться формулой для объёма конуса, которая выглядит следующим образом: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \( r \) - радиус основания конуса, \( h \) - его высота. Чтобы найти радиус основания, можно воспользоваться свойством треугольника, в котором один из углов равен 60 градусам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом его основания и его образующей. Используем тригонометрию. Зная, что \(\tan(60^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\), где противолежащий катет - это радиус основания конуса, а прилежащий катет - высота конуса. \[\tan(60^\circ) = \frac{r}{12}\] Решив это уравнение относительно \(r\), получим: \[r = 12 \cdot \tan(60^\circ)\] \[r = 12 \cdot \sqrt{3}\] Теперь, когда у нас есть радиус основания (\(r = 12 \cdot \sqrt{3}\)) и высота конуса (\(h = 12\)), можем найти его объём, используя формулу: \[ V = \frac{1}{3} \pi (12 \cdot \sqrt{3})^2 \cdot 12 \] После вычислений: \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 432 \cdot 12 \] \[ V = 144 \pi \cdot 12 \] \[ V = 1728 \pi \, \text{см}^3 \] Таким образом, объём конуса равен \(1728 \pi \, \text{см}^3\).