Question

Решите уравнение: sin²x + 2cosx+2=0

Answer 1

$\sin^{2}x + 2\cos x + 2 = 0$

$1 - \cos^{2}x + 2\cos x + 2 = 0$

$-\cos^{2}x + 2\cos x + 3 = 0$

$\cos^{2}x - 2\cos x - 3 = 0$

Замена: $\cos x = t, \ t \in [-1; \ 1]$

$t^{2} - 2t - 3 = 0$

$\left[\begin{array}{ccc}t_{1} = -1 \ \ \ \\t_{2} =3 > 1\\\end{array}\right$

Обратная замена:

$\cos x = -1$

$x = \pi + 2\pi n, \ n \in Z$

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, \ n \in Z$

Answer 2

Для решения уравнения sin²x + 2cosx + 2 = 0, мы можем воспользоваться тригонометрическими и алгебраическими методами. Давайте попробуем решить это уравнение по шагам. 1. Начнем с уравнения sin²x + cos²x = 1. Это является тригонометрической идентичностью, которая гласит, что синус квадрата угла плюс косинус квадрата того же угла всегда равно 1. 2. Выразим sin²x через 1 и cosx: sin²x = 1 - cos²x. 3. Подставим это в исходное уравнение: (1 - cos²x) + 2cosx + 2 = 0. 4. Теперь у нас есть уравнение только с переменной cosx: 1 - cos²x + 2cosx + 2 = 0. 5. Переносим все члены на одну сторону уравнения и изменяем знаки: -cos²x + 2cosx + 3 = 0. 6. Мы видим, что у нас есть квадратное уравнение с переменной cosx. Давайте введем замену: y = cosx. Теперь уравнение становится: -y² + 2y + 3 = 0. 7. Решим квадратное уравнение для y: -y² + 2y + 3 = 0 Для нахождения корней используем квадратное уравнение: y = (-B ± √(B² - 4AC)) / (2A). В данном случае A = -1, B = 2, и C = 3. y = (-2 ± √(2² - 4(-1)(3))) / (2(-1)) y = (-2 ± √(4 + 12)) / (-2) y = (-2 ± √16) / (-2) y = (-2 ± 4) / (-2) 8. Теперь найдем два возможных значения для y: a) y₁ = (4 - 2) / (-2) = 2 / (-2) = -1 b) y₂ = (4 + 2) / (-2) = 6 / (-2) = -3 9. Мы нашли два значения для y (cosx): y₁ = -1 и y₂ = -3. Теперь вернемся к исходной переменной x, используя обратную функцию косинуса: a) cosx₁ = -1 b) cosx₂ = -3 10. Теперь найдем соответствующие значения синуса для каждого значения cosx, используя тригонометрическую идентичность sin²x + cos²x = 1: a) sin²x₁ + (-1)² = 1 sin²x₁ + 1 = 1 sin²x₁ = 0 sinx₁ = 0 b) sin²x₂ + (-3)² = 1 sin²x₂ + 9 = 1 sin²x₂ = -8 (нет решений, так как sin²x не может быть отрицательным) 11. Итак, у нас есть два значения для x: a) x₁, где cosx₁ = -1 и sinx₁ = 0 b) x₂, где cosx₂ = -3 (нет решений, так как sin²x не может быть отрицательным) Таким образом, единственным решением уравнения sin²x + 2cosx + 2 = 0 является x₁, где cosx₁ = -1 и sinx₁ = 0. Это означает, что x₁ равен кратному числу π, так как косинус периодичен с периодом 2π.