Question

Нужно найти такую первообразную F(x) для функции f(x) чтобы: а) f(x) = 1+x^2; F(-1) = 2b) f(x) = 3x-7; F(0) = 12

Answer 1

Ответ:

a) $F(x)=x+\frac{x^{3}}{3} +3\frac{1}{3}$

b) $\F(x) =\frac{3*x^{2}}{2} -7*x+12$

Пошаговое объяснение:

a) f(x)=1+x²; F(-1)=2

$F(x)=\int\limits {(1+x^{2}) } \, dx =x+\frac{x^{3}}{3} +C\\F(-1)=2\\2=-1+\frac{(-1)^{3}}{3} +C\\2=-1-\frac{1}{3} +C\\C=2+1+\frac{1}{3}=3\frac{1}{3}\\F(x)=x+\frac{x^{3}}{3} +3\frac{1}{3}$

b) f(x) = 3·x-7; F(0) = 12

$F(x) =\int\limits{(3*x-7)} \, dx =\frac{3*x^{2}}{2} -7*x+C\\F(0)=12\\12=\frac{3*0^{2}}{2} -7*0+C\\C=12\\F(x) =\frac{3*x^{2}}{2} -7*x+12$

Answer 2

Для того, чтобы найти такую первообразную F(x) для функции f(x), что F(a) = b, где a и b - заданные константы, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти общий вид первообразной F(x) для f(x), используя правила интегрирования или таблицу интегралов. Например, для f(x) = 1 + x^2, общий вид первообразной будет F(x) = x + (1/3)x^3 + C, где C - произвольная константа. 2. Подставить в найденную первообразную значение a и приравнять результат к b. Таким образом, получим уравнение относительно C. Например, для f(x) = 1 + x^2 и F(-1) = 2, получим уравнение -1 + (1/3)(-1)^3 + C = 2, откуда C = 8/3. 3. Выразить C из уравнения и подставить его в общий вид первообразной. Таким образом, получим искомую первообразную F(x), удовлетворяющую условию F(a) = b. Например, для f(x) = 1 + x^2 и F(-1) = 2, получим F(x) = x + (1/3)x^3 + 8/3.

Используя этот алгоритм, можно решить задачи а) и б):

а) f(x) = 1 + x^2; F(-1) = 2

Общий вид первообразной: F(x) = x + (1/3)x^3 + C

Уравнение для C: -1 + (1/3)(-1)^3 + C = 2

Решение для C: C = 8/3

Искомая первообразная: F(x) = x + (1/3)x^3 + 8/3

б) f(x) = 3x - 7; F(0) = 12

Общий вид первообразной: F(x) = (3/2)x^2 - 7x + C

Уравнение для C: (3/2)(0)^2 - 7(0) + C = 12

Решение для C: C = 12

Искомая первообразная: F(x) = (3/2)x^2 - 7x + 12