Question

Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого заданы A (2;3;1), B(-4;-2;3), C(-3;2;-4). Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма

Answer 1

Ответ:

(3;7-6); 52°

Пошаговое объяснение:

1. 1. Если точка О - точка пересечения диагоналей, то, зная координаты А и С, её координаты (-0,5;2,5;-1,5);

1. 2. Зная координаты О и точки В, можно найти координаты неизвестной вершины D: (3;7;-6);

2. Острый угол можно найти, зная координаты и длину векторов, исходящих из одной вершины. Например, В:

ВА(6;5;-2) и ВС(1;4;-7); |BA|=√65; |BC|=√66;

$cos(BA;BC)=\frac{6*1+4*5+2*7}{\sqrt{65*66}}=\frac{40}{\sqrt{65*66}}=\frac{40}{\sqrt{4290}}$

∠ABC≈arccos(0.61070481655245929489096177395214)≈52°

Answer 2

Чтобы найти четвертую вершину параллелограмма, нужно использовать свойство параллелограмма, согласно которому противоположные стороны параллелограмма равны по длине и параллельны друг другу. Пусть d - четвертая вершина параллелограмма. Так как сторона AB параллельна стороне DC, то вектор AB равен вектору DC: AB = DC (a - b) = (d - c). Также сторона BC параллельна стороне AD, поэтому вектор BC равен вектору AD: BC = AD (b - c) = (a - d). Составим два уравнения на основе данных равенств: 1) (2 - (-4), 3 - (-2), 1 - 3) = (d1 - (-3), d2 - 2, d3 - (-4)). То есть 6d1 = 5, d1 = 5/6; 5d2 = 5, d2 = 1; -2d3 = 1, d3 = -1/2. Таким образом, координаты четвертой вершины d равны (5/6, 1, -1/2). 2) (-4 - (-3), -2 - 2, 3 - (-4)) = (2 - 5/6, 3 - 1, 1 - (-1/2)). То есть -1d1 = -1/6, d1 = 1/6; -4d2 = -1, d2 = 1/4; 7d3 = 3/2, d3 = 3/14). Таким образом, координаты четвертой вершины d равны (1/6, 1/4, 3/14). Чтобы найти острый угол параллелограмма, нужно найти угол между любыми двумя непараллельными сторонами параллелограмма. Для этого можно воспользоваться формулой скалярного произведения векторов. Пусть у - высота параллелограмма, проведенная из вершины B на сторону AD. Тогда косинус острого угла параллелограмма можно найти по формуле: cos α = у / |AB| Для начала найдем вектор AB и вектор у: AB = (a - b) = (2 - (-4), 3 - (-2), 1 - 3) = (6, 5, -2). Далее найдем длину вектора AB: |AB| = √(6^2 + 5^2 + (-2)^2) = √(36 + 25 + 4) = √(65). Теперь найдем вектор у. У находится на стороне AD, следовательно: у = AD + DC = (a - d) + (d - c) = (2 - 5/6, 3 - 1, 1 - (-1/2)) + (5/6 - (-3), 1 - 2, -1/2 - (-4)). Расчеты длинны вектора у аналогичны расчетам вектора AB: |у| = √[(11/6)^2 + (-1)^2 + (9/2)^2] = √(121/36 + 1 + 81/4) = √(484/36 + 36/36 + 726/36) = √(1246/36) = √(623/18). Теперь, используя найденные значения, найдем косинус α: cos α = (у / |AB|) = (√(623/18) / √(65)). Таким образом, косинус острого угла параллелограмма равен (√(623/18) / √(65)). Острый угол α можно найти, используя обратную тригонометрическую функцию cos^(-1): α = cos^(-1)((√(623/18) / √(65)).