Question

Равнобедренный треугольник, основание которого 16 см и боковая сторона - 10 см, вращается вокруг боковой стороны.Найдите площадь поверхности тела вращения. ( с рисунком) Помогите пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

при вращении образуется два конуса с общим основанием

боковая поверхность конуса S=πRL , R - радиус основания, L - образующая

L1=AC=10; L2=BC=16

R=OC - высота проведенная к боковой стороне , найдем ОС

проведем высоту АН т.к. АВС равнобедренный АН - медиана

НС=ВС/2=16/2=8

по теореме Пифагора АН=√(АС²-НС²)=√(10²-8²)=√(100-64)=√36=6

по формуле площади треугольника

S=ah/2

SABC=BC*AH/2=AB*OC/2

BC*AH=AB*OC

OC=BC*AH/AB=16*6/10=9,6=R

Верхний конус

S1=πRL1=9.6*10*π=96π

Нижний конус

S2=πRL2=9.6*16*π=153,6π

S=S1+S2=96π+153,6π=249,6π

Answer 2

Чтобы найти площадь поверхности тела вращения равнобедренного треугольника, нужно воспользоваться формулой для нахождения площади поверхности вращения: \[ S = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + (y')^2} dx \] где \( S \) - площадь поверхности вращения, \( y \) - функция, задающая профиль фигуры, \( y' \) - производная функции \( y \) по \( x \), а \( a \) и \( b \) - пределы интегрирования по оси \( x \). В данном случае, у нас есть равнобедренный треугольник с основанием 16 см и боковой стороной 10 см. Поскольку треугольник равнобедренный, его высота \( h \) можно найти, используя теорему Пифагора: \[ h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см} \] Теперь, когда у нас есть функция, описывающая профиль треугольника, мы можем использовать формулу для нахождения площади поверхности вращения. Так как треугольник вращается вокруг боковой стороны (стороны высоты), пределы интегрирования будут от 0 до 6 (половина высоты треугольника). Функция, задающая профиль треугольника, будет \( y(x) = 8 - \frac{4}{16}x \) (где 8 - это половина основания треугольника, а \( \frac{4}{16} \) - это половина разницы между основанием и боковой стороной, так как треугольник равнобедренный). Теперь найдем производную \( y'(x) \): \[ y'(x) = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4} \] Подставим все значения в формулу площади поверхности вращения: \[ S = 2\pi \int_{0}^{6} \left(8 - \frac{1}{4}x\right) \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2} dx \] Упростим выражение и проинтегрируем: \[ S = 2\pi \int_{0}^{6} \left(8 - \frac{1}{4}x\right) \sqrt{1 + \frac{1}{16}} dx \] \[ S = 2\pi \int_{0}^{6} \left(8 - \frac{1}{4}x\right) \sqrt{\frac{17}{16}} dx \] \[ S = 2\pi \int_{0}^{6} \left(8 - \frac{1}{4}x\right) \frac{\sqrt{17}}{4} dx \] \[ S = \frac{\pi\sqrt{17}}{2} \int_{0}^{6} \left(8 - \frac{1}{4}x\right) dx \] Теперь проинтегрируем: \[ S = \frac{\pi\sqrt{17}}{2} \left[8x - \frac{1}{8}x^2\right]_{0}^{6} \] \[ S = \frac{\pi\sqrt{17}}{2} \left[(48 - 18) - (0 - 0)\right] \] \[ S = \frac{30\pi\sqrt{17}}{2} \] Таким образом, площадь поверхности тела вращения равнобедренного треугольника с основанием 16 см и боковой стороной 10 см, вращающегося вокруг боковой стороны, составляет \( 15\pi\sqrt{17} \) квадратных сантиметров или примерно 83.53 квадратных сантиметра.