Question

Используя преобразование Лапласа, найти решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях x " (t ) + 2 * x (t ) = sin(t ) + sin( 2 * t ) x(0)=0; x'(0)=1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:в приложении

Answer 2

Для нахождения решения дифференциального уравнения сначала применим преобразование Лапласа ко всем частям уравнения. Применяем преобразование Лапласа к уравнению: L{ x''(t) } + 2L{ x'(t) } = L{ sin(t) + sin(2t) } где L{ } обозначает преобразование Лапласа оператора. Используем известные преобразования Лапласа: L{ x''(t) } = s^2 X(s) - s*x(0) - x'(0) L{ x'(t) } = sX(s) - x(0) Подставляем найденные преобразования в уравнение и получаем: s^2 X(s) - s*x(0) - x'(0) + 2 (sX(s) - x(0)) = 1/(s^2 + 1) + 2/(s^2 + 4) Подставляем начальные условия x(0) = 0 и x'(0) = 1: s^2 X(s) - s*0 - 1 + 2sX(s) - 2*0 = 1/(s^2 + 1) + 2/(s^2 + 4) Упрощаем уравнение и получаем: (s^2 + 2s) X(s) - 1 = (s^2 + 4 + 2(s^2 + 1))/(s^2 + 1)(s^2 + 4) (s^2 + 2s) X(s) - 1 = (3s^2 + 6)/(s^2 + 1)(s^2 + 4) Теперь выразим X(s): X(s) = (3s^2 + 6)/(s^2 + 1)(s^2 + 4) / (s^2 + 2s) X(s) = (3s^2 + 6)/(s^2 + 1)(s^2 + 4) / s(s + 2) Теперь разложим дробь на простейшие: X(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s^2 + 1) + D/(s^2 + 4) Умножим обе части на знаменатель и найдем значения коэффициентов: 3s^2 + 6 = A(s + 2)(s^2 + 4) + B(s)(s^2 + 1) + C(s^2 + 4) + D(s)(s + 2) 3s^2 + 6 = A(s^3 + 2s^2 + 4s + 8) + B(s^3 + s) + C(s^2 + 4) + D(s^2 + 2s) Раскрываем скобки и собираем одинаковые степени s: 3s^2 + 6 = (A + B)s^3 + (2A + B + C + D)s^2 + (4A + 2B)s + 8A + 4C Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях s и получаем систему уравнений: A + B = 0 2A + B + C + D = 3 4A + 2B = 0 8A + 4C = 6 Из первого уравнения получаем, что A = -B. Из третьего уравнения получаем, что A = 0 и B = 0. Подставляем полученные значения во второе и четвертое уравнения: C + D = 3 4C = 6 Получаем, что C = 3/4 и D = 9/4. Теперь подставим найденные значения коэффициентов в разложение Лапласа: X(s) = (3/4)/(s^2 + 1) + (9/4)/(s^2 + 4) / s(s + 2) Воспользовавшись таблицей преобразований Лапласа, найдем обратное преобразование и получим решение: x(t) = (3/4)sin(t) + (9/4)sin(2t) - (3/8)e^(-t) + (3/8)e^(-2t) Таким образом, решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях x(0) = 0 и x'(0) = 1 равно: x(t) = (3/4)sin(t) + (9/4)sin(2t) - (3/8)e^(-t) + (3/8)e^(-2t)