Question

Высшая математика.Площадь прямоугольника 81 кв. см. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

Answer 1

Ответ:

Стороны прямоугольника - 9см;9см

Пошаговое объяснение:

пусть х - одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона: 81/х

Функция,по  которой вычисляется периметр:f(x)=2(x+81/x) на отрезке 0<x<=81

Для вычисления наименьшего значения ф-ции найдём производную:  

f'(x)=2(1-81/x²) и приравняем к нулю

2(1-81/x²)=0

1-81/x²=0

х²=81 х≠0

х=9 - точка минимума(при х<9 производная отрицательная, при х>9 положительная)

f(9)=2(9+81/9)=36  

f(81)=2(81+81/81)=164

 f(9) - наименьшее значение периметра, когда обе стороны =9 см

Answer 2

Чтобы найти длину сторон прямоугольника, при которых периметр будет наименьшим, необходимо воспользоваться задачей оптимизации. Пусть длина прямоугольника равна "a", а ширина - "b". Известно, что площадь прямоугольника равна 81 кв. см: ab = 81 Периметр прямоугольника P выражается следующим образом: P = 2(a + b) Необходимо найти значения a и b, при которых P будет минимальным. Можно использовать метод подстановки. Выразим одну из переменных из уравнения площади и подставим в уравнение для периметра: a = 81/b P = 2(81/b + b) Теперь найдем производную от P по переменной b и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки: P' = -162/b^2 + 2 -162/b^2 + 2 = 0 -162/b^2 = -2 2b^2 = 162 b^2 = 81 b = √81 b = 9 Используем найденное значение b и подставляем обратно в уравнение площади: a = 81/9 a = 9 Таким образом, чтобы периметр был наименьшим, стороны прямоугольника должны быть равны 9 см и 9 см.