Question

СРОЧНО ДАЮ 50 Б. В выражении (x+5)^10⋅(2x−1)^9 раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. Чему равен коэффициент при x^18?

Answer 1

18 = 10 + 8 = 9 + 9

Рассмотрим каждое из вышеописанных разложений:

$(C_{10}^{10}*x^{10}*5^0) * (C_9^8*(2x)^8*(-1)^1)=-2304x^{18}$

$(C_{10}^9*x^9*5)*(C_9^9*(2x)^9*(-1)^0)=25600x^{18}$

25600-2304=23296

Answer 2

Для вычисления коэффициента при x^18 в выражении (x+5)^10⋅(2x−1)^9, нам нужно разложить оба множителя на множители и затем перемножить соответствующие члены. Давайте разложим оба множителя:

1. Разложение (x+5)^10 с использованием биномиальной формулы:

(x+5)^10 = C(10,0)x^10 * 5^0 + C(10,1)x^9 * 5^1 + C(10,2)x^8 * 5^2 + ... + C(10,10)x^0 * 5^10

Где C(n, k) - это биномиальный коэффициент "n по k" (т.е., количество способов выбрать k элементов из n элементов).

Теперь разложим (2x-1)^9 с использованием биномиальной формулы:

(2x-1)^9 = C(9,0)(2x)^9 * (-1)^0 + C(9,1)(2x)^8 * (-1)^1 + C(9,2)(2x)^7 * (-1)^2 + ... + C(9,9)(2x)^0 * (-1)^9

Теперь перемножим соответствующие члены из обоих разложений, чтобы найти коэффициент при x^18. Коэффициент при x^18 будет равен сумме произведений членов, где степень x суммируется до 18. Это означает, что нам нужно рассмотреть члены, где степень x в первом множителе равна 10, а во втором множителе равна 8, и наоборот.

Поэтому мы будем искать коэффициенты при членах x^10 * (2x)^8 и x^9 * (2x)^9:

Коэффициент при x^10 * (2x)^8 = C(10,10) * C(9,8) * 5^10 * (2^8) Коэффициент при x^9 * (2x)^9 = C(10,9) * C(9,9) * 5^9 * (2^9)

Вычислим эти значения:

Коэффициент при x^10 * (2x)^8 = 1 * 9 * 9765625 * 256 = 21914062500 Коэффициент при x^9 * (2x)^9 = 10 * 1 * 1953125 * 512 = 1000000000

Теперь сложим их, чтобы найти общий коэффициент при x^18:

Общий коэффициент при x^18 = 21914062500 + 1000000000 = 22914062500

Таким образом, коэффициент при x^18 в выражении (x+5)^10⋅(2x−1)^9 равен 22,914,062,500.