Question

В банке Тидевятого царства хранятся купюры достоинством 1,2,..., 2013 талеров, причём каждая купюра имеется в едином экземпляре. На общем собрании было решено разделить все деньги банка поровну между жителями царства. Найдите наибольшее возможное число жителей Тридевятого царства, при котором это решение можно реализовать.

Answer 1

1007 жителей
каждому досталось по 2014 1 + 2013; 2 + 2012; 3 + 2011.....

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n), \]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - последний член.

В данном случае сумма денег в банке - это сумма первых 2013 членов арифметической прогрессии с шагом 1:

\[ S_{2013} = \frac{2013}{2} \cdot (1 + 2013). \]

Теперь мы хотим найти наибольшее возможное число жителей, при котором можно поделить эти деньги поровну. Пусть \(n\) - это количество жителей, тогда каждый из них получит \(\frac{S_{2013}}{n}\) талеров.

Чтобы это число было целым, \(\frac{S_{2013}}{n}\) должно делиться нацело на \(n\). Таким образом, мы ищем наибольший делитель числа \(S_{2013}\), который меньше или равен 2013.

Рассмотрим делители числа \(S_{2013}\). Они будут делителями числа 2013, так как они делят оба множителя в выражении \(\frac{2013}{2}\). Найдем наибольший делитель 2013:

\[ 2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61. \]

Таким образом, наибольшим делителем числа 2013 является 61. Поэтому максимальное число жителей, при котором можно поделить деньги поровну, равно 61.