Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции:y = x^2 - 6x + 1

Answer 1

Решение на фоторафии......

Answer 2

Для того, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции y = x^2 - 6x + 1, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции. Так как это квадратичная функция, то она определена при любом x, то есть x ∈ R. 2. Найти первую производную функции. Производная показывает скорость изменения функции и ее знак зависит от того, возрастает или убывает функция. Производная квадратичной функции y = ax^2 + bx + c равна y' = 2ax + b. В нашем случае y' = 2x - 6. 3. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае производная существует при любом x, поэтому нужно решить уравнение y' = 0, то есть 2x - 6 = 0. Отсюда x = 3. Это единственная критическая точка функции. 4. Исследовать знак производной на промежутках, на которые критическая точка делит область определения функции. Для этого можно построить таблицу знаков производной:

| x | (-∞; 3) | 3 | (3; +∞) | |---|----------|---|---------| | y'| - | 0 | + | | y | ↓ | | ↑ |

Из таблицы видно, что производная отрицательна при x < 3, то есть функция убывает на промежутке (-∞; 3). Производная положительна при x > 3, то есть функция возрастает на промежутке (3; +∞). Производная равна нулю при x = 3, то есть функция имеет экстремум в этой точке.

5. Определить тип экстремума в критической точке. Для этого можно использовать вторую производную функции, которая показывает скорость изменения первой производной и ее знак зависит от того, выпукла или вогнута функция. Вторая производная квадратичной функции y = ax^2 + bx + c равна y'' = 2a. В нашем случае y'' = 2. Это значит, что вторая производная положительна при любом x, то есть функция выпукла вниз на всей области определения. Следовательно, в точке x = 3 функция имеет минимум.

6. Вычислить значение функции в критической точке. Для этого нужно подставить x = 3 в исходную формулу функции: y = (3)^2 - 6(3) + 1 = -10. Это значение минимума функции.

Ответ: Функция возрастает на промежутке (3; +∞) и убывает на промежутке (-∞; 3). Функция имеет минимум в точке (3; -10).