Question

Исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, точки экстремума: f(x)=2x^6-5x^4

Answer 1

Алгоритм.

1. найдем производную функции  f'(x)=(2x⁶-5x⁴)'=12x⁵-20x³=

4x³(3x²-5)

2. Найдем критические точки. 4x³(3x²-5)=0, х=0; 3х²=5; х=±√(5/3)

3. Решим неравенство 4x³(3x²-5)≥0, установив промежутки возрастания  и убывания.

____-√(5/3)_______0_______√(5/3)______

-                       +               -                      +      

функция убывает при     х∈   (-∞;-√(5/3)] и при х∈ [0;√(5/3)]

функция возрастает при х∈[-√(5/3);0]  и при х∈   [√(5/3);+∞)

х= -√(5/3); х=√(5/3) -точки минимума, т.к. при переходе через них производная меняет знак с минуса на плюс.

х=0- точка максимума, т.к. при переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус.

Answer 2

Для начала найдем производную функции f(x): f'(x) = 12x^5 - 20x^3 Для определения промежутков возрастания и убывания нам нужно найти значения x, для которых производная положительна и отрицательна соответственно. 1. Найдем значения x, при которых f'(x) > 0: 12x^5 - 20x^3 > 0 4x^3(3x^2 - 5) > 0 Заметим, что первый множитель всегда положительный, поэтому промежутки возрастания функции определяются значениями x, при которых (3x^2 - 5) > 0: 3x^2 - 5 > 0 3x^2 > 5 x^2 > 5/3 x > √(5/3) Получили, что функция возрастает на интервале (√(5/3), +∞). 2. Найдем значения x, при которых f'(x) < 0: 12x^5 - 20x^3 < 0 4x^3(3x^2 - 5) < 0 Снова обратим внимание на множитель 4x^3. Он всегда отрицателен при отрицательных значениях x и положителен при положительных значениях x. Следовательно, промежутки убывания функции определяются значениями x, при которых (3x^2 - 5) < 0: 3x^2 - 5 < 0 3x^2 < 5 x^2 < 5/3 x < -√(5/3) или x > √(5/3) Получили, что функция убывает на интервалах (-∞, -√(5/3)) и (0, √(5/3)). Теперь найдем точки экстремума - точки, где производная равна нулю или не существует. f'(x) = 12x^5 - 20x^3 = 0 Разложим на множители: 4x^3(3x^2 - 5) = 0 Когда первый множитель равен нулю, f'(x) будет равна нулю (не является точкой экстремума), но при равенстве второго множителя нулю получим точки экстремума: 3x^2 - 5 = 0 3x^2 = 5 x^2 = 5/3 x = ± √(5/3) Получили две точки экстремума: x = √(5/3) и x = - √(5/3). Таким образом, промежутки возрастания функции f(x) находятся на интервале (√(5/3), +∞), убывания - на интервалах (-∞, -√(5/3)) и (0, √(5/3)), а точки экстремума находятся в точках x = √(5/3) и x = - √(5/3).