Question

1)Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 6х-х^2 и у=0 2)Вычислите объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси ОХфигуры, ограниченной линиями у=√х, у=0, х=4.

Answer 1

0=6х-х^2

0=х(6-х)

Х=0

Х=6

Answer 2

1) Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х - х^2 и у = 0, нам необходимо найти точки пересечения этих линий. Сначала приравняем уравнения линий и найдем значения х: 6х - х^2 = 0 Факторизуем это уравнение: x(6 - x) = 0 Отсюда получаем два возможных значения х: x = 0 и x = 6 Таким образом, точки пересечения линий - это (0, 0) и (6, 0). Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Для этого мы будем вычислять площади треугольников, ограниченных линией у = 6х - х^2 и осью х, и затем сложим эти площади. Обратимся к первому треугольнику, образованному у = 6х - х^2 и осью х. Мы знаем, что х принимает значения от 0 до 6 в этой области. Для вычисления площади этого треугольника используем формулу: S1 = (1/2) * основание * высота Основание треугольника - это разность x-координат двух точек пересечения линий: основание = 6 - 0 = 6 Высота - это у-координата точки, образующей треугольник (то есть значение функции у = 6х - х^2): высота = 6 * 6 - 6^2 = 36 - 36 = 0 Таким образом, площадь первого треугольника S1 = (1/2) * 6 * 0 = 0. Перейдем ко второму треугольнику, образованному линией у = 0 и осью х. В этой области у постоянно равно 0. Таким образом, площадь второго треугольника S2 = 0. Итого, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х - х^2 и у = 0, равна сумме площадей обоих треугольников: S = S1 + S2 = 0 + 0 = 0. 2) Чтобы вычислить объем тела, полученного в результате вращения фигуры, ограниченной линиями у = √х, у = 0 и х = 4, вокруг оси ОХ, мы будем использовать формулу для объема вращения: V = ∫(A, B) A(x)^2 * dx где A(x) - это функция, задающая фигуру. Из графика видно, что функция у = √х является положительной и непрерывной на интервале [0, 4]. Поэтому мы можем использовать формулу для площади криволинейного сечения: A(x) = π * (у)^2 Тогда формула для объема будет выглядеть так: V = ∫(0, 4) π * (√x)^2 * dx V = ∫(0, 4) π * x * dx Вычислим интеграл: V = π * ∫(0, 4) x * dx V = π * (x^2/2) ∣ (0, 4) V = π * (4^2/2 - 0^2/2) V = π * (16/2) V = 8π Таким образом, объем тела, полученного в результате вращения фигуры, ограниченной линиями у = √х, у = 0 и х = 4, вокруг оси ОХ, равен 8π единицам объема.