Question

Помогите, пожалуйста, разобраться с логарифмами. Я не понимаю, как решать те логарифмы, у которых в основании дробь. К примеру: log₃\₄ x⁴=256

Answer 1

В этом примере делаем точно так же как и с недробными основаниями. Вначале только вынесем 4 за логарифм:
$4\log_{3/4}x=256$
$\log_{3/4}x=64$
А затем применяем к обеим частям функцию $(3/4)^t$. Это называется потенцированием по основанию 3/4. Получается
$(3/4)^{\log_{3/4}x}=(3/4)^{64}$
$x=(3/4)^{64}$.

А вообще, если есть какое-то сложное основание, то логарифм всегда можно привести к другому, более удобному основанию по формуле
$\log_b a=\log_ca/\log_cb$. Какое бы не было сложное b, всегда можно взять удобное с и свести все к двум логарифмам по этому основанию c.

Answer 2

Конечно, я помогу вам разобраться с логарифмами, включая те, у которых в основании есть дробь. Давайте рассмотрим ваш пример: log₃₄(x⁴) = 256. Для начала, давайте преобразуем логарифм в эквивалентную экспоненциальную форму. Обратите внимание, что в основании логарифма стоит дробь 34. Чтобы избавиться от дроби, мы можем использовать свойство логарифма, которое гласит: logₐ(b) = log(c) / log(a), где a - основание логарифма, b - аргумент логарифма, c - число, в которое нужно возвести основание логарифма, чтобы получить аргумент. Применяя это свойство, мы можем переписать логарифм следующим образом: log₃₄(x⁴) = log(x⁴) / log(34). Теперь, чтобы решить уравнение, мы должны найти значения логарифмов в обоих частях равенства. Первым делом, найдем значение логарифма в правой части равенства: log(34) ≈ 1.53148 (округляем до пятого знака после запятой). Теперь у нас есть уравнение: log(x⁴) / 1.53148 = 256. Чтобы избавиться от деления, мы можем умножить обе части уравнения на 1.53148: log(x⁴) = 256 * 1.53148. log(x⁴) ≈ 391.84288. Теперь преобразуем логарифм обратно в экспоненциальную форму: x⁴ = 10^(391.84288). Теперь мы можем найти значение x, возведя обе части уравнения в четвертую степень: x = (10^(391.84288))^(1/4). x ≈ 4.91285 * 10^19. Таким образом, значение x, удовлетворяющее исходному уравнению log₃₄(x⁴) = 256, примерно равно 4.91285 * 10^19. Надеюсь, эта подробная инструкция помогла вам разобраться с логарифмами и решить ваше уравнение. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!