Question

Знайдіть площу фігури обмеженої графіком функції у=√х і ​

Answer 1

Ответ:

Площа фігури обмеженої графіком функції у=√x та прямої y=(1/2)x дорівнює (8/3) * √2 - 4 квадратних одиниць.

Пошаговое объяснение:

Щоб знайти площу фігури, спочатку необхідно знайти точки перетину графіків функцій. Підставляючи вираз для другої функції у рівняння першої, отримуємо:

√x = (1/2)x

x = 4

Тобто точки перетину графіків знаходяться при x=4.

Далі, для знаходження площі фігури, потрібно проінтегрувати функцію від х=0 до х=4 та відняти від неї функцію другого графіку на цьому ж відрізку. Отже, площа фігури дорівнює:

S = ∫[0,4] √x dx - ∫[0,4] (1/2)x dx

S = [2/3 x^(3/2)][0,4] - [1/4 x^2][0,4]

S = (2/3) * 4^(3/2) - (1/4) * 4^2 - 0

S = (8/3) * √2 - 4

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = √x и осью x, нужно воспользоваться интегралом. Интеграл от функции y = √x по оси x, ограниченный промежутком [a, b], где a и b - точки пересечения графика с осью x, даст нам искомую площадь. Для нашего случая, функция y = √x пересекает ось x в точках (0, 0) и (1, 1). Таким образом, промежуток интегрирования будет [0, 1]. Интеграл от √x по оси x можно записать следующим образом: ∫[0, 1] √x dx Для нахождения этого интеграла, нужно воспользоваться формулой для интеграла от степенной функции: ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C В нашем случае, n = 1/2, поэтому: ∫√x dx = (1/(1/2+1)) * x^(1/2+1) + C = 2 * x^(3/2) + C Теперь, найдем значение интеграла на промежутке [0, 1]: ∫[0, 1] √x dx = 2 * 1^(3/2) - 2 * 0^(3/2) = 2 Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = √x и осью x, равна 2 квадратным единицам.