Question

Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції у=6х²-6 та віссю абсцис

Answer 1

Графік функції у=6х²-6 є параболою, що відкривається догори. Щоб знайти площу фігури, обмеженої цією параболою та віссю абсцис, потрібно інтегрувати функцію від 0 до точки перетину з віссю абсцис:

S = ∫₀^(√1) (6x² - 6) dx,

де √1 - корінь з рівняння 6x² - 6 = 0.

Розв'яжемо рівняння:

6x² - 6 = 0

x² - 1 = 0

x = ±1

Оскільки ми шукаємо площу лише для додатніх значень аргументу, то ми беремо лише корінь x = 1.

Тоді:

S = ∫₀¹ (6x² - 6) dx

S = [2x³ - 6x]₀¹

S = 21³ - 61 - 0 = -4

Отже, площа фігури, обмеженої графіком функції у=6х²-6 та віссю абсцис, дорівнює -4. Так як площа не може бути від'ємною, можливо була допущена помилка в обчисленнях, або ж фігура не є обмеженою.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої графіком функції y = 6x² - 6 та віссю абсцис (ось x), вам потрібно обчислити інтеграл від цієї функції від відповідного інтервалу x.

Формула для знаходження площі під графіком функції на інтервалі [a, b] виглядає так:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

У вашому випадку, функція f(x) = 6x² - 6, і ми шукаємо площу на всьому діапазоні абсцис, тобто від мінімального значення x до максимального. Оскільки це квадратична функція, її мінімальне значення буде наявним в вершині параболи.

Знайдемо вершину параболи:

Функція $f(x) = 6x^2 - 6$ має вершину, і її x-координата обчислюється як $-\frac{b}{2a}$, де a = 6 у вашому виразі. Тобто,

$x_{\text{вершини}} = -\frac{0}{2(6)} = 0$

Отже, вершина параболи знаходиться при x = 0.

Тепер ми можемо обчислити площу під графіком функції від -∞ до +∞, що відповідає всьому діапазону абсцис:

$S = \int_{-\infty}^{\infty} (6x^2 - 6) dx$

Тепер знайдемо цей інтеграл:

$S = \lim_{{a \to -\infty}} \int_{a}^{0} (6x^2 - 6) dx + \lim_{{b \to \infty}} \int_{0}^{b} (6x^2 - 6) dx$

Далі, обчислимо інтеграл кожної з цих частин:

$\int (6x^2 - 6) dx = 2x^3 - 6x + C$

Тепер обчислимо границі інтегрування:

$S = \lim_{{a \to -\infty}} \left[2(0)^3 - 6(0) - \left(2a^3 - 6a\right)\right] + \lim_{{b \to \infty}} \left[2b^3 - 6b - \left(2(0)^3 - 6(0)\right)\right]$

Спростимо вирази:

$S = \lim_{{a \to -\infty}} \left(-2a^3 + 6a\right) + \lim_{{b \to \infty}} \left(2b^3 - 6b\right)$

Тепер обчислимо ці границі:

$S = -\infty + \infty$

Отже, площа фігури обмежена графіком функції $y = 6x^2 - 6$ і віссю абсцис є нескінченною і рівна $\infty - \infty$, що не має конкретного числового значення.