Question

Обчислити площу фігури, обмеженої графіком функції y = 1 - x⁴ та віссю Оx.будь ласка, напишіть пояснення до розв'язку)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

строим графики функций и определяем фигуру, пределы интегрирования

по графику находим все нужные значения для формулы площади

$S=\int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2)} \, dx$

у  нас: x изменяется от -1 до 1   ⇒   x₁ = -1; х₂ = 1

за у₁ принимают функцию, лежащую на графике "выше" другой

у нас: у₁ = 1-х⁴ ; у₂ = 0  (ось ОХ задается функцией у = 0)

вот и всё. теперь считаем площадь

$S=\int\limits^{1}_{-1} {(1-x^4)} \, dx= \int\limits^{1}_{-1} {(1)} \, dx-\int\limits^{1}_{-1} {(x^4)} \, dx = xI_{-1}^1-\frac{x^5}{5} I_{-1}^1=2-\frac{2}{5} =\frac{8}{5}$

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої графіком функції y = 1 - x⁴ та віссю Оx, ми можемо використати інтеграл. Загальна ідея полягає в тому, щоб знайти інтеграл функції знизу до верху по вісі Oy та обмежити його відповідними межами.

Спочатку знайдемо точки перетину графіку функції з віссю Оx, тобто коли y = 0. Підставимо y = 0 у рівняння функції:

0 = 1 - x⁴

x⁴ = 1

x = ∛1

Отже, точка перетину графіку з віссю Оx - це (1, 0).

Тепер обчислимо інтеграл функції y = 1 - x⁴ від x = 0 до x = 1. Це дозволить знайти площу фігури, обмеженої графіком та віссю Оx. Математично, це можна записати наступним чином:

площа = ∫[0,1] (1 - x⁴) dx

Інтегрування цієї функції дозволить нам отримати результат. Використовуючи антипохідну, отримаємо:

площа = [x - (x⁵/5)] [0,1]

площа = (1 - (1⁵/5)) - (0 - (0⁵/5))

площа = (1 - 1/5) - (0 - 0)

площа = (5/5 - 1/5) - 0

площа = 4/5

Таким чином, площа фігури, обмеженої графіком функції y = 1 - x⁴ та віссю Оx, дорівнює 4/5 одиниць квадратних.