Question

Найдите неопределенный интеграл: ∫ (x-1)dx/√(5-4х-х^2)

Answer 1

Ответ:

√(5-4х-х^2) + arcsin(x/3 - 2/3) + C

Пошаговое объяснение:

∫(x-1)dx/√(5-4х-х^2) = ∫(x-1)dx/√(9-(x-2)^2)

u = x-2; du = dx

∫(u+1)du/√(9-u^2) = ∫udu/√(9-u^2) + ∫du/√(3^2-u^2)

∫udu/√(9-u^2)

v = 9-u^2; dv = -2udu; dv/-2 = udu

∫dv/(-2√v) = -√v = -√(9-u^2) = -√(9-(x-2)^2) = -√(5-4х-х^2)

∫du/√(3^2-u^2) = arcsin(u/3) =  arcsin(u/3) = arcsin(x/3 - 2/3)

∫(x-1)dx/√(5-4х-х^2) = -√(5-4х-х^2) + arcsin(x/3 - 2/3) + C

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫((x-1)dx)/√(5-4x-x^2), будем использовать метод подстановки. Сначала проведем замену переменных: Пусть u = 5-4x-x^2 Тогда, du/dx = -4-2x, откуда dx = -du/(4+2x) Подставим dx и замену в исходный интеграл: ∫((x-1)dx)/√(5-4x-x^2) = ∫((x-1)(-du/(4+2x))) Раскроем скобки и приведем подобные члены: ∫(-x-1)(du/(4+2x)) = ∫(-xdu/(4+2x) - du/(4+2x)) Разделим интеграл на два слагаемых: ∫(-xdu/(4+2x) - du/(4+2x)) = -∫(xdu/(4+2x)) - ∫(du/(4+2x)) Выделим из обоих интегралов общий множитель x и 1/(4+2x): -∫(xdu/(4+2x)) - ∫(du/(4+2x)) = -∫(x(du/(2(2+x)))) - ∫(du/(2(2+x))) Разделим оба интеграла на 2: -∫(x(du/(2(2+x)))) - ∫(du/(2(2+x))) = -1/2 * ∫(x(du/(2+x))) - 1/2 * ∫(du/(2+x)) Теперь каждый из интегралов - это стандартный интеграл: ∫(x(du/(2+x))) = ∫(u/(2+x)) du = ∫(u/(u+2)) du Сделаем замену v = u+2 Тогда, dv = du, и du = dv Подставим новую переменную и упростим интеграл: ∫(u/(u+2)) du = ∫(v/v) dv = ∫dv = v + C Вернемся к переменной u, сделав обратную замену: v + C = (u+2) + C = (5-4x-x^2+2) + C = -x^2-4x+7 + C Теперь найдем второй интеграл: ∫(du/(2+x)) = ln|2+x| Общий ответ: -1/2 * ∫(x(du/(2+x))) - 1/2 * ∫(du/(2+x)) = -1/2 * (-x^2-4x+7) - 1/2 * ln|2+x| + C Итого, неопределенный интеграл ∫((x-1)dx)/√(5-4x-x^2) равен: -1/2 * (-x^2-4x+7) - 1/2 * ln|2+x| + C, где C - произвольная постоянная.