Question

найдите последнюю цифру значения выражения:а)1*2+2*3+3*4+...+9*10; б) 1*2+2*3+3*4+...+9*10+10*11+...+2019*2020.

Answer 1

$S_k=\sum\limits_{n=1}^k n(n+1)=\sum\limits_{n=1}^k (n^2+n)=\sum\limits_{n=1}^k n^2+\sum\limits_{n=1}^kn=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\dfrac{k(k+1)}{2}=\dfrac{k(k+1)(2k+1+3)}{6}=\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}\\ 1*2+2*3+3*4+...+9*10=S_9=\dfrac{9(9+1)(9+2)}{3}=3*10*11=\overline{...0}\\ 1*2+2*3+3*4+...+2019*2020=S_{2019}=\dfrac{2019(2019+1)(2019+2)}{3}=673*202*10*2021=\overline{...0}\\ \fbox{OTBET:\;a) 0; b) 0}$

Answer 2

а) Выражение 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + ... + 9 * 10 является суммой произведений последовательных чисел от 1 до 10. Можно заметить, что каждое произведение состоит из двух последовательных чисел: первое число увеличивается на 1, а второе число увеличивается на 2. Таким образом, можно переписать выражение следующим образом: (1 * 2) + (2 * 3) + (3 * 4) + ... + (9 * 10) = (2 - 1) + (3 - 2) + (4 - 3) + ... + (10 - 9) = 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + ... + 2 + 1 В данной сумме можно увидеть, что (2 + 1) повторяется 9 раз, так как у нас 9 произведений в исходной сумме. Таким образом, можно записать выражение как: (2 + 1) * 9 = 3 * 9 = 27 Последняя цифра числа 27 равна 7. б) Выражение 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + ... + 9 * 10 + 10 * 11 + ... + 2019 * 2020 является суммой произведений последовательных чисел от 1 до 2020. Как и в предыдущем случае, каждое произведение состоит из двух последовательных чисел, но в данном случае наблюдается шаг произведения равный 1. Чтобы найти последнюю цифру этой суммы, можно посмотреть на остатки от деления каждого произведения на 10. Заметим следующую закономерность: 1 * 2 ≡ 2 (mod 10) 2 * 3 ≡ 6 (mod 10) 3 * 4 ≡ 2 (mod 10) ... 9 * 10 ≡ 0 (mod 10) 10 * 11 ≡ 0 (mod 10) ... 2019 * 2020 ≡ 0 (mod 10) Таким образом, все последние цифры произведений, начиная с 10, равны нулю. Последняя цифра суммы будет равна последней цифре произведения чисел 1 и 2, то есть 2. Таким образом, последняя цифра выражения 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + ... + 9 * 10 + 10 * 11 + ... + 2019 * 2020 равна 2.