Question

Назовите последнюю цифру значения выражения: 4^2019 - 5^2019 + 6^2019 - 7^2019

Answer 1

Ответ:

2

Пошаговое объяснение:

4²⁰¹⁹ - 5²⁰¹⁹ + 6²⁰¹⁹ - 7²⁰¹⁹

Рассмотрим степени чисел 4, 5, 6, и 7, определим повторения в последних цифрах:

4¹=4, 4²=16=..6, 4³=64=..4, 4⁴=256=..6, .... Отсюда заключаем, что последняя цифра нечетных степеней числа 4 равен 4, тогда 4²⁰¹⁹=..4.

5¹=5, 5²=25=..5, 5³=125=..5, 5⁴=625=..5, .... Отсюда заключаем, что последняя цифра любых степеней числа 5 равен 5, тогда 5²⁰¹⁹=..5.

6¹=6, 6²=36=..6, 6³=216=..6, 6⁴=1296=..6, .... Отсюда заключаем, что последняя цифра любых степеней числа 6 равен 6, тогда 6²⁰¹⁹=..6.

7¹=7, 7²=49=..9, 7³=343=..3, 7⁴=2401=..1, 7⁵=7⁴⁺¹=..1·7¹=..7, ... Отсюда заключаем, что последние цифры степени числа 7 повторяются через каждые 4-степень,  7²⁰¹⁹=7²⁰¹⁶⁺³=..7³=..3.

Тогда

4²⁰¹⁹ - 5²⁰¹⁹ + 6²⁰¹⁹ - 7²⁰¹⁹=..4 - ..5 + ..6 - ..3=..0 - ..8= ..2

Ответ: 2

Answer 2

Чтобы найти последнюю цифру значения выражения 4^2019 - 5^2019 + 6^2019 - 7^2019, нужно рассмотреть остатки от деления каждого слагаемого на 10.

Остатки от деления степеней 4, 5, 6 и 7 на 10: 4^1 ≡ 4 (mod 10) 4^2 ≡ 6 (mod 10) 4^3 ≡ 4 (mod 10) 4^4 ≡ 6 (mod 10) ... и так далее.

5^1 ≡ 5 (mod 10) 5^2 ≡ 5 (mod 10) 5^3 ≡ 5 (mod 10) 5^4 ≡ 5 (mod 10) ... и так далее.

6^1 ≡ 6 (mod 10) 6^2 ≡ 6 (mod 10) 6^3 ≡ 6 (mod 10) 6^4 ≡ 6 (mod 10) ... и так далее.

7^1 ≡ 7 (mod 10) 7^2 ≡ 9 (mod 10) 7^3 ≡ 3 (mod 10) 7^4 ≡ 1 (mod 10) 7^5 ≡ 7 (mod 10) ... и так далее.

Заметим, что степени 4 и 6 дают остаток 6 при делении на 10, а степень 5 даёт остаток 5. Кроме того, степень 7 образует цикл из четырех значений: 7, 9, 3 и 1.

Поскольку каждое слагаемое имеет разную степень, мы можем рассматривать остатки от деления на 4:

• (4^2019 - 5^2019) ≡ (6 - 5) ≡ 1 (mod 4)
• (6^2019 - 7^2019) ≡ (6 - 7) ≡ -1 ≡ 3 (mod 4)

Теперь нужно рассмотреть остаток значения выражения (1 + 3) на 4: (1 + 3) ≡ 4 (mod 4)

Значение 4 (mod 4) равно 0, что означает, что значение выражения делится на 4. Теперь нам нужно найти остаток от деления на 10.

Так как значение выражения делится на 4, нам нужно рассмотреть остаток от деления (4^2019 - 5^2019 + 6^2019 - 7^2019) на 5: (4^2019 - 5^2019 + 6^2019 - 7^2019) ≡ (0 - 0 + 1 - 2) ≡ -1 ≡ 4 (mod 5)

Итак, значение выражения имеет остаток 4 при делении на 5.

Теперь соединим информацию о делении на 4 и 5 для определения остатка значения выражения на 10 по китайской теореме об остатках.

Мы ищем число, которое равно 4 (mod 4) и 4 (mod 5). Такое число - 4, так как остаток от деления 4 на 4 равен 0, а остаток от деления 4 на 5 равен 4.

Итак, последняя цифра значения выражения (4^2019 - 5^2019 + 6^2019 - 7^2019) равна 4.