Question

Дано :у=х^3-2х^2+х+3 1.Найти стационарные точки; 2.Найти промежуток возрастания и убывания ; 3.Найти более конкретные стационарные точки (X min,X max) 4 . Найти наибольшее и наименьшее значение 5.Построить график

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

!находим производную  y"=3x^2-4x+1  ,  3x^2-4x+1=0  ,корни  1 и 1/3, это стационарные точки

2) на числовой прямой отмечаем эти точки, знаки  +  -  +,  где знаки + там  функция возрастает, где (-) там убывает,  функкция возрастает на (-~;1/3] и [1; +~) и убывает на[1/3;1]

3)в точке 1/3 производная меняет знак с (+) на (-), это точка max и х=1 точка min,  

4)чтобы найти наиб. и наим. знач. подставим х=1/3 и х=1 в функцию, подсчитаем,  у(1/3)=3 4/27  , у(1)=3.  

чтобы построить график, на до построить точки с координатами  (1;3 )  и  (1/3;3 4/27) и дать какие то значения поблизости

Answer 2

Для решения данной задачи, нам нужно найти стационарные точки, определить промежутки возрастания и убывания, найти более конкретные стационарные точки (то есть точки минимума и максимума), найти наибольшее и наименьшее значения функции, а также построить график функции. Давайте решим каждый пункт поочередно. 1. Найдем стационарные точки. Для этого найдем производную функции у(x) и приравняем ее к нулю: у'(x) = 3x^2 - 4x + 1. Теперь решим уравнение: 3x^2 - 4x + 1 = 0. Это уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения или метода полного квадрата. Давайте воспользуемся методом полного квадрата. Для этого мы выразим x^2 - (4/3)x как полный квадрат: 3x^2 - 4x + 1 = 3(x^2 - (4/3)x) + 1 = 3(x^2 - (4/3)x + (2/3)^2 - (2/3)^2) + 1 = 3((x - 2/3)^2 - 4/9) + 1 = 3(x - 2/3)^2 - 4/3 + 1 = 3(x - 2/3)^2 - 1/3. Теперь у нас есть уравнение: 3(x - 2/3)^2 - 1/3 = 0. Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби: 3(x - 2/3)^2 - 1 = 0. Теперь прибавим 1 к обеим сторонам: 3(x - 2/3)^2 = 1. И разделим обе стороны на 3: (x - 2/3)^2 = 1/3. Теперь извлечем квадратный корень: x - 2/3 = ±√(1/3). Теперь добавим 2/3 ко всем частям: x = 2/3 ± √(1/3). Таким образом, у нас есть две стационарные точки: x1 = 2/3 + √(1/3) и x2 = 2/3 - √(1/3). 2. Определим промежутки возрастания и убывания. Для этого мы можем взять производную у'(x) и анализировать ее знаки на разных интервалах между стационарными точками и за пределами. Уже вычислили у'(x): у'(x) = 3x^2 - 4x + 1. Теперь анализируем ее знаки: - У нас есть стационарные точки x1 и x2. - Рассмотрим интервалы (-∞, x2), (x2, x1), и (x1, +∞). Для интервала (-∞, x2): Подставим x = -∞ в у'(x), получим положительное значение. Значит, функция возрастает на этом интервале. Для интервала (x2, x1): Подставим x между x2 и x1 в у'(x), получим отрицательное значение. Значит, функция убывает на этом интервале. Для интервала (x1, +∞): Подставим x = +∞ в у'(x), получим положительное значение. Значит, функция возрастает на этом интервале. 3. Теперь найдем более конкретные стационарные точки (точки минимума и максимума). Для этого нужно анализировать знаки второй производной, у''(x), вблизи стационарных точек. Вторая производная у''(x) будет равна: у''(x) = 6x - 4. Оценим знаки второй производной в окрестности стационарных точек: - Для x = x1 (2/3 + √(1/3)): у''(x1) = 6(2/3 + √(1/3)) - 4 > 0. Значит, x1 - точка минимума. - Для x = x2 (2/3 - √(1/3)): у''(x2) = 6(2/3 - √(1/3)) - 4 > 0. Значит, x2 - точка минимума. 4. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции у(x) на всей числовой прямой. Для этого нужно найти значения функции в стационарных точках и на бесконечностях. - y(x1) = у(2/3 + √(1/3)) - y(x2) = у(2/3 - √(1/3)) Для определения значений на бесконечностях, можно рассмотреть пределы функции при x -> ±∞. 5. Построим график функции у(x), используя найденную информацию о стационарных точках, промежутках возрастания и убывания, а также о значениях на бесконечностях. График поможет нам визуализировать поведение