Question

Найдите все целочисленные решенияуравнения 3x² +4 xy-7y²=13​

Answer 1

Ответ:

Целых решений нет.

Пошаговое объяснение:

Имеем уравнение с двумя неизвестными. Преобразуем левую часть уравнения:

3 * x^2 + 4 * x * y - 7 * y^2 = 13;

3 * x^2 + 4 * x * y - 3 * y^2 - 4 * y^2 = 13;

3 * (x^2 - y^2) + 4 * y * (x - y) = 13;

3 * (x - y) * (x + y) - 4 * y * (x - y) = 13;

(x - y) * (3 * x - 3 * y - 4 * y) = 13;

(x - y) * (3 * x - 7 * y) = 13;

13 - простое число. Получим четыре системы:

1) x - y = 1;

3 * x - 7 * y = 13;

x = y + 1;

3 * (y + 1) - 7 * y = 13;

- 4 * y = 10;

y = -2,5;

x= -1,5.

2) x - y = 13;

3 * x - 7 * y = 1;

x = y + 13;

3 * y + 39 - 7 * y = 1;

-4 * y = -38;

y = 9,5;

x = 22,5.

3) x - y = -1;

3 * x - 7 * y = -13;

x = y - 1;

3 * y - 3 - 7 * y = -13;

-4 * y = -10;

y = 2,5;

x = 1,5;

4) x - y = -13;

3 * x - 7 * y = -1;

x = y - 13;

3 * y - 39 - 7 * y = -1;

y = -9,5;

x = -22,5.

Целых решений нет.

Answer 2

Дано уравнение: 3x² + 4xy - 7y² = 13.

Перепишем его в виде квадратичной формы:

3x² + 4xy - 7y² - 13 = 0.

Уравнение имеет вид Ax² + Bxy + Cy² + D = 0, где A = 3, B = 4, C = -7, D = -13.

Решим это уравнение методом замены. Пусть z = x/y, тогда x = zy.

Подставим это значение в исходное уравнение:

3(zy)² + 4(zy)y - 7y² - 13 = 0.

3z²y² + 4zy² - 7y² - 13 = 0.

Вынесем y² за скобку:

(3z² + 4z - 7)y² - 13 = 0.

Полученное уравнение должно равняться нулю для любых значений y², если решение существует.

Таким образом, уравнение должно быть равно нулю для любых значений в скобках:

3z² + 4z - 7 = 0.

Решим это квадратное уравнение относительно z:

D = 4² - 4 * 3 * (-7) = 16 + 84 = 100.

z₁ = (-4 + √100) / (2 * 3) = (-4 + 10) / 6 = 6 / 6 = 1.

z₂ = (-4 - √100) / (2 * 3) = (-4 - 10) / 6 = -14 / 6 = -7/3.

Теперь найдем значения y, используя полученные значения z:

1) При z = 1:

3 * 1² + 4 * 1 * y - 7y² - 13 = 0.

3 + 4y - 7y² - 13 = 0.

-7y² + 4y - 10 = 0.

2) При z = -7/3:

3 * (-7/3)² + 4 * (-7/3) * y - 7y² - 13 = 0.

3 * 49/9 - 4 * 7/3 * y - 7y² - 13 = 0.

49/3 - 28/3 * y - 7y² - 13 = 0.

-7y² - 28/3 * y + 10/3 = 0.

Решим оба уравнения, чтобы найти значения y.

1) Уравнение -7y² + 4y - 10 = 0.

D = 4² - 4 * (-7) * (-10) = 16 - 280 = -264.

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет рациональных решений.

2) Уравнение -7y² - 28/3 * y + 10/3 = 0.

Попробуем решить его через формулу дискриминанта:

D = (-28/3)² - 4 * (-7) * (10/3) = 784/9 + 280/3 = 784/9 + 840/9 = 1624/9.

Так как дискриминант положителен, решение есть:

y₁ = (-(-28/3) + √(1624/9)) / (2 * (-7)) = (28/3 + 40/3) / -14 = 68/3 / -14 = -34/21.

y₂ = (-(-28/3) - √(1624/9)) / (2 * (-7)) = (28/3 - 40/3) / -14 = -12/3 / -14 = 4/21.

Таким образом, получены два значения y для уравнения -7y² + 4y - 10 = 0: y₁ = -34/21 и y₂ = 4/21.

Теперь найдем значения x, используя полученные значения y.

1) При y = -34/21:

x = zy = 1 * (-34/21) = -34/21.

2) При y = 4/21:

x = zy = (-7/3) * (4/21) = -28/63 = -4/9.

Таким образом, целочисленные решения уравнения 3x² + 4xy - 7y² = 13 равны:

x₁ = -34/21 и y₁ = -34/21.

x₂ = -4/9 и y₂ = 4/21.

Данные решения могут быть упрощены, если нам известны условия, например, если требуется получить только натуральные решения.