Question

Найдите число, которое больше 1 и делится на 24, 16 и 15 с остатком 2.​

Answer 1

$x\equiv 2\bmod 24\Rightarrow x=2+24n,\; n\in \mathbb{N}\\x\equiv 2\bmod 16\Rightarrow x=2+16n,\; n\in \mathbb{N}\\x\equiv 2\bmod 15\Rightarrow x=2+15n,\; n\in \mathbb{N}$

То есть, вы можете подставить любое целое число $n$ и получить бесконечно много таких чисел

Если задание требует число, которые делится сразу на три числа и даёт остаток 2, то воспользуемся Китайской Теоремой об Остатках (КТО)

$\mathrm{lcm}(24,16,14)=240\Rightarrow \begin{cases}x\equiv 2\bmod 24\\x\equiv 2\bmod 16\\x\equiv 2\bmod 15\end{cases}\Leftrightarrow x\equiv 2\bmod 240\Rightarrow\\\Rightarrow x=2+240n, \; n\in \mathbb{N}$

Answer 2

Для нахождения такого числа, которое делится на 24, 16 и 15 с остатком 2, необходимо использовать метод китайской теоремы об остатках.

1. Начнем с числа 2, так как оно удовлетворяет условиям задачи (делится на все числа с остатком 2).
2. Рассмотрим 24, 16 и 15. Найдем их наибольший общий делитель (НОД).
- НОД(24, 16) = 8.
- НОД(8, 15) = 1.
3. Последовательно решаем систему сравнений с использованием расширенного алгоритма Евклида, чтобы найти искомое число:
- x ≡ 2 (mod 24)
- x ≡ 2 (mod 16)
- x ≡ 2 (mod 15)

Решение этой системы даст нам остаток x, который мы ищем.
4. Применяем расширенный алгоритм Евклида для нахождения чисел m1, m2, m3, где:
- m1 = (16 * 15) * (16 * 15)^(-1) ≡ 1 (mod 24)
- m2 = (24 * 15) * (24 * 15)^(-1) ≡ 1 (mod 16)
- m3 = (24 * 16) * (24 * 16)^(-1) ≡ 1 (mod 15)

Это даст нам коэффициенты для решения системы.
5. Найдем сумму всех произведений ai * mi * xi, где ai - остатки, mi - коэффициенты, xi - числа, которые дают остаток ai при делении на каждое из чисел (24, 16, 15):
- x = (2 * 24 * m1) + (2 * 16 * m2) + (2 * 15 * m3)
- x = 24 * m1 + 16 * m2 + 15 * m3

Таким образом, мы найдем искомое число, которое делится на 24, 16 и 15 с остатком 2.

6. Подставим значения коэффициентов:
- x = 24 * m1 + 16 * m2 + 15 * m3
- x = 24 * 1 + 16 * 1 + 15 * 1
- x = 24 + 16 + 15
- x = 55

Таким образом, число 55 удовлетворяет заданным условиям.