Question

Докажите, что если треугольник прямоугольный, то медиана проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

Answer 1

Т.к. серединные перпендикуляры к сторонам будут пересекаться именно в точке, которая делит гипотенуза на два равных отрезка, то медиана будет делить гипотенузу на два равных отрезка и равна одному из них. Если достроить треугольник до прямоугольника, то тогда сразу будет ясно, что медиана равна половине гипотенузы и равна половине диагонали (а диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся на равные между собой отрезки).

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть треугольник ABC прямоугольный, где угол B прямой. Пусть AC - гипотенуза, а M - середина гипотенузы. Так как M - середина гипотенузы, то AM = MC. По теореме Пифагора имеем: AB^2 + BC^2 = AC^2 Так как треугольник ABC прямоугольный, то AB^2 + BC^2 = AM^2 + MC^2 Учитывая, что AM = MC, получаем: AB^2 + BC^2 = AM^2 + AM^2 AB^2 + BC^2 = 2AM^2 Так как AB^2 + BC^2 = AC^2, то получаем: AC^2 = 2AM^2 Из этого следует, что AC = √(2AM^2) Мы знаем, что медиана делит сторону треугольника пополам, поэтому AM = MC = AC/2. Заменяя AM в уравнении, получаем: AC = √(2(AC/2)^2) AC = √(2(AC^2)/4) AC = √(AC^2/2) AC = AC/√2 Умножая обе части на √2, получаем: √2 * AC = AC √2 = 1 Таким образом, доказывается, что если треугольник ABC прямоугольный, то медиана проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.