Question

Построен правильный шестиугольник ABCDEF около треугольника ABC описана окружность радиусом 3 см. найдите радиус окружности, описанной около треугольника BEF.

Answer 1

В треугольнике АВС два угла по 30°. По теореме синусов следует, что сторона треугольника, лежащая против угла а 30° равна радиусу описанной окружности. Значит сторона шестиугольника равна 3 см.
 Треугольник BEF - прямоугольный, в нем радиус описанной окружности равен половине гипотенузы BE, которая равна удвоенной стороне, т.е. 6 см. А радиус  снова 3 см.

 А если без вычислений, то окружность, описанная около треугольника АВС, проходит через все вершины шестиугольника, т.е. она описана около второго треугольника.. Ее радиус равен 3 см по условию.

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника BEF, мы должны использовать следующий факт: внешний угол треугольника равен сумме его двух внутренних углов.

В нашем случае, внешний угол BEF равен сумме внутренних углов ABC и DEF.

Поскольку шестиугольник ABCDEF является правильным, все его внутренние углы равны 120 градусов.

Таким образом, внешний угол BEF равен 120 градусов.

Зная, что радиус окружности ABCDEF равен 3 см, мы можем использовать связь между радиусом окружности и внешним углом треугольника:

Радиус окружности ABCDEF = радиус окружности, описанной около треугольника BEF × 2 × sin(внешний угол BEF/2)

3 см = радиус окружности, описанной около треугольника BEF × 2 × sin(120/2)

3 см = радиус окружности, описанной около треугольника BEF × 2 × sin(60)

Так как sin(60) = √3/2, мы получаем:

3 см = радиус окружности, описанной около треугольника BEF × 2 × (√3/2)

Делим оба выражения на 2 × (√3/2), чтобы избавиться от этих множителей:

3 ÷ (2 × (√3/2)) = радиус окружности, описанной около треугольника BEF

Упрощаем эту дробь:

3 ÷ (√3) = радиус окружности, описанной около треугольника BEF

Домножаем числитель и знаменатель на √3:

(3 × √3) ÷ (√3 × √3) = 3√3 ÷ 3 = √3

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника BEF, равен √3 см.