Question

Решить уравнение cos x - корень из 3sin x=2cos 7x,записать число корней на промежутке [0 градусов и 180]

Answer 1

2(1/2cosx-√3/2sinx)=2cos7x
2cos(x+π/3)=2cos7x
cos7x-cos(x+π/3)=0
-2sin(4x+π/6)sin(3x-π/6)=0
sin(4x+π/6)=0⇒4x+π/6=πn⇒4x=-π/6+πn⇒x=-π/24+πn/4
0≤-π/24+πn/4≤π
0≤-1+6n≤24
1≤6n≤25
1/6≤n≤25/9
n=1⇒x=-π/24+π/4=5π/24
n=2⇒x=-π/24+π/2=11π/24
n=3⇒x=-π/24+3π/4=17π/24
n=4⇒x=-π/24+π=23/π/24
sin(3x-π/6)=0⇒3x-π/6=πn⇒3x=π/6+πn⇒x=π/18+πn/3
0≤π/18+πn/3≤π
0≤1+18n≤18
-1≤18n≤17
-1/18≤n≤17/18
n=0⇒x=π/18

Answer 2

Чтобы решить уравнение cos x - √3sin x = 2cos 7x, преобразуем его:

cos x - √3sin x = 2cos 7x

Перепишем все тригонометрические функции с использованием тождества cos(α - β):

cos x - sin(π/3)x = 2cos(π/3 - 6x)

Теперь можно раскрыть скобки:

cos x - √3sin x = 2(cos π/3cos 6x + sin π/3sin 6x)

Рассмотрим каждую часть уравнения по отдельности:

cos x - √3sin x = 2(cos π/3cos 6x + sin π/3sin 6x)

cos x - √3sin x = 2(√3/2cos 6x + 1/2sin 6x)

cos x - √3sin x = √3cos 6x + sin 6x

Приравняем коэффициенты при cos и sin:

cos x = √3cos 6x

-√3sin x = sin 6x

Решим первое уравнение:

cos x = √3cos 6x

cos x - √3cos 6x = 0

Факторизуем:

cos x(1 - √3cos 5x) = 0

Получаем два уравнения:

cos x = 0

1 - √3cos 5x = 0

Для первого уравнения решения на промежутке [0°, 180°] являются углы: x = 90° и x = 270°.

Для второго уравнения решение можно найти следующим образом:

√3cos 5x = 1

cos 5x = 1/√3

5x = arccos(1/√3)

Так как нас интересуют только значения на промежутке [0°, 180°], найденный угол x сначала нужно поделить на 5:

x = arccos(1/√3) / 5 ≈ 10.78°

Таким образом, третьим решением уравнения является x ≈ 10.78°.

Итак, уравнение имеет в итоге три решения: x = 90°, x = 270°, и x ≈ 10.78°, и число корней на промежутке [0°, 180°] равно 3.

Answer 3

Для решения данного уравнения используем тригонометрические тождества и свойства корней:

cos x - √3sin x = 2cos 7x.

Перепишем каждый из терминов синуса и косинуса в равенстве с помощью тригонометрических тождеств:

cos x - √3sin x = 2(cos^2 7x - sin^2 7x).

Заметим, что (cos^2 7x - sin^2 7x) это разность квадратов, которую можно переписать с помощью формулы:

cos x - √3sin x = 2(cos (14x) - sin (14x))(cos (7x) + sin (7x)).

Теперь видно, что одна из возможных множителей должна быть равна нулю:

cos (14x) - sin (14x) = 0 или cos (7x) + sin (7x) = 0.

Рассмотрим первое уравнение: cos (14x) - sin (14x) = 0.

Применим формулу синуса и косинуса суммы:

cos (14x) - sin (14x) = cos (π/4 - 14x) = 0.

Теперь найдем значения, для которых cos (π/4 - 14x) = 0:

π/4 - 14x = π/2 + kπ, где k - целое число.

14x = -π/4 + π/2 + kπ,

14x = π/4 + kπ.

x = (π/4 + kπ)/14.

Теперь рассмотрим второе уравнение: cos (7x) + sin (7x) = 0.

Используем опять формулу синуса и косинуса суммы:

cos (7x) + sin (7x) = √2cos (π/4 - 7x) = 0.

Теперь найдем значения, для которых √2cos (π/4 - 7x) = 0:

π/4 - 7x = π/2 + kπ, где k - целое число.

7x = -π/4 + π/2 + kπ,

7x = π/4 + kπ.

x = (π/4 + kπ)/7.

Итак, мы получили две системы корней для данного уравнения:

1. x = (π/4 + kπ)/14, где k - целое число.

2. x = (π/4 + kπ)/7, где k - целое число.

На промежутке [0 градусов и 180] количество корней можно определить, подставив крайние значения в эти уравнения и получив диапазон значений x, и затем посчитав количество целых чисел, попадающих в этот диапазон.

Исходя из полученных уравнений, мы знаем, что значения x лежат в интервале от 0 до π/2 (или в диапазоне от 0 до 90 градусов), так как x определено как угол в тригонометрических функциях. Подставим эти значения в уравнения и посмотрим, сколько целых чисел получается на данном интервале.

Для первой системы корней:
- При k = 0, x = π/56;
- При k = 1, x = 15π/56;
- При k = 2, x = 29π/56;
- При k = 3, x = 43π/56;
- При k = 4, x = 57π/56;
- При k = 5, x = 71π/56;
- При k = 6, x = 85π/56.

Для второй системы корней:
- При k = 0, x = π/28;
- При k = 1, x = 15π/28;
- При k = 2, x = 29π/28;
- При k = 3, x = 43π/28.

Таким образом, мы получили 11 корней на промежутке [0 градусов и 180].