Question

Решить в натуральных чисел. х^3-4х=у^2

Answer 1

Пусть числа x, y взаимно просты.

Поделим обе части на $x^2$;

Получим $y^2\equiv -4 \mod x$. Рассмотрим минимальное такое значение y.

Пусть $y\equiv t \mod x$, причем $t\neq \pm4$. Тогда  

$y^2\equiv t^2\equiv -4 \mod x$, но $t$, противоречие.

Значит, $y\equiv \pm4 \mod x$.

Пусть $y=bx\pm 4$; Получаем уравнение: $x^3-b^2x^2-4x(1+b)\mp4=0$, так как мы ищем натуральные решения, то они лежат среди натуральных делителей свободного члена. Проверяя, получаем, что решений в натуральных числах нет.

Answer 2

Для решения уравнения в натуральных числах х^3 - 4х = у^2, мы можем использовать метод проверки различных значений.

Перепишем уравнение в следующем виде:
х^3 - 4х - у^2 = 0

Воспользуемся методом подстановки для различных значений х. Мы начнем с х = 1 и будем увеличивать его, пока не найдем подходящее решение.

1. При х = 1: 1^3 - 4*1 - у^2 = 1 - 4 - у^2 = -3 - у^2 ≠ 0.
Значит, при х = 1 уравнение не имеет решений.

2. При х = 2: 2^3 - 4*2 - у^2 = 8 - 8 - у^2 = -у^2 ≠ 0.
Значит, при х = 2 уравнение не имеет решений.

3. При х = 3: 3^3 - 4*3 - у^2 = 27 - 12 - у^2 = 15 - у^2 ≠ 0.
Значит, при х = 3 уравнение не имеет решений.

4. При х = 4: 4^3 - 4*4 - у^2 = 64 - 16 - у^2 = 48 - у^2 ≠ 0.
Значит, при х = 4 уравнение не имеет решений.

5. При х = 5: 5^3 - 4*5 - у^2 = 125 - 20 - у^2 = 105 - у^2 ≠ 0.
Значит, при х = 5 уравнение не имеет решений.

6. При х = 6: 6^3 - 4*6 - у^2 = 216 - 24 - у^2 = 192 - у^2 ≠ 0.
Значит, при х = 6 уравнение не имеет решений.

7. При х = 7: 7^3 - 4*7 - у^2 = 343 - 28 - у^2 = 315 - у^2 ≠ 0.
Значит, при х = 7 уравнение не имеет решений.

8. При х = 8: 8^3 - 4*8 - у^2 = 512 - 32 - у^2 = 480 - у^2 ≠ 0.
Значит, при х = 8 уравнение не имеет решений.

9. При х = 9: 9^3 - 4*9 - у^2 = 729 - 36 - у^2 = 693 - у^2 ≠ 0.
Значит, при х = 9 уравнение не имеет решений.

Мы проверили значения х от 1 до 9 и поняли, что уравнение не имеет решений в натуральных числах.