Question

Найти прозводную: Ln(x+y)=arcsin(корень из x/y)

Answer 1

Ответ:

$(y'_x+1)*2y\sqrt{xy-x^2}=(x+y)*(y-y'_x*x)$

Пошаговое объяснение:

Решение в приложении

Answer 2

Для нахождения производной функции `Ln(x + y) = arcsin(sqrt(x/y))`, сначала разделим обе стороны уравнения на `Ln` и возьмем экспоненту от обеих сторон:

1. `Ln(x + y) = arcsin(sqrt(x/y))`

2. Применим экспоненту к обеим сторонам:

`e^(Ln(x + y)) = e^(arcsin(sqrt(x/y))`

Экспонента и натуральный логарифм взаимно уничтожаются:

`x + y = e^(arcsin(sqrt(x/y))`

Теперь продифференцируем обе стороны уравнения по `x` с использованием цепного правила. Для левой стороны у нас есть простая производная, а для правой стороны нам потребуется использовать цепное правило и правило дифференцирования арксинуса:

Левая сторона:

Дифференцируем `x + y` по `x`:

d/dx (x + y) = 1

Правая сторона:

Производная `e^(arcsin(sqrt(x/y))` по `x`:

Применим цепное правило. Пусть `u = sqrt(x/y)`:

d/dx (e^(arcsin(u))) = d/du (e^(arcsin(u))) * d/dx (sqrt(x/y))

Теперь найдем производные по `u` и `x`:

1. Дифференцируем `e^(arcsin(u))` по `u` с использованием цепного правила:

d/du (e^(arcsin(u))) = e^(arcsin(u)) * d/du (arcsin(u))

2. Дифференцируем `sqrt(x/y)` по `x`:

d/dx (sqrt(x/y)) = (1/2) * (1/sqrt(x/y)) * (1/y)

Теперь объединим результаты и рассмотрим правую сторону уравнения:

d/dx (e^(arcsin(sqrt(x/y))) = e^(arcsin(sqrt(x/y))) * d/du (arcsin(sqrt(x/y))) * (1/2) * (1/sqrt(x/y)) * (1/y)

Теперь можем записать производную уравнения:

1 = e^(arcsin(sqrt(x/y))) * d/du (arcsin(sqrt(x/y))) * (1/2) * (1/sqrt(x/y)) * (1/y)

Теперь вернемся к переменной `u`, которая равна `sqrt(x/y)`, и вспомним, что `sin(arcsin(u)) = u`:

1 = u * (1/2) * (1/sqrt(x/y)) * (1/y)

1 = (1/2) * (1/sqrt(x/y)) * (1/y)

Теперь, умножим обе стороны на `2sqrt(x/y)*y`:

2sqrt(x/y)*y = 1

Теперь давайте решим это уравнение относительно `y`:

y = 1 / (2sqrt(x/y))

Умножим обе стороны на `2sqrt(x/y)`:

2sqrt(x/y)*y = 1

Теперь делим обе стороны на `2sqrt(x/y)`:

y = 1 / (2sqrt(x/y))

Это выражение представляет собой производную функции `y` относительно `x`, и оно зависит от переменных `x` и `y`.