Question

ВНИМАНИЕ!!! Сколько существует натуральных чисел n таких, что [n/2] + [n/3] = n - 2?Задача сложная.

Answer 1

Число n может при делении на 2 давать остатки 0 или 1.
[n/2] = n/2 или (n-1)/2
При делении на 3 оно может давать остатки 0, 1 или 2.
[n/3] = n/3 или (n-1)/3 или (n-2)/3
Получаем 6 уравнений в разных комбинациях.
1) n/2 + n/3 = n - 2
Умножаем все на 6
3n + 2n = 6n - 12
n = 12
2) n/2 + (n-1)/3 = n - 2; n = 10
3) n/2 + (n-2)/3 = n - 2; n = 8
4) (n-1)/2 + n/3 = n - 2; n = 9
5) (n-1)/2 + (n-1)/3 = n - 2; n = 7
6) (n-1)/2 + (n-2)/3 = n - 2; n = 5
Других решениий нет.
Ответ 6 решений

Answer 2

все натуральные числа можно разбить на 6 групп:

1) n = 6k

$\left[\begin{array}{c}6k\\-\\2\end{array}\right] =3k\\\\ \left[\begin{array}{c}6k\\-\\3\end{array}\right] =2k$

3k + 2k = 6k - 2

k = 2

n = 12 - первое число

2) n = 6k + 1

$\left[\begin{array}{c}6k+1\\-\\2\end{array}\right] =3k\\\\ \left[\begin{array}{c}6k+1\\-\\3\end{array}\right] =2k$

3k + 2k = 6k - 1

k = 1

n = 7 - второе число

3) n = 6k + 2

$\left[\begin{array}{c}6k+2\\-\\2\end{array}\right] =3k+1\\\\ \left[\begin{array}{c}6k+2\\-\\3\end{array}\right] =2k$

3k + 1 + 2k = 6k

k = 1

n = 8 - третье число

4) n = 6k + 3

$\left[\begin{array}{c}6k+3\\-\\2\end{array}\right] =3k+1\\\\ \left[\begin{array}{c}6k+3\\-\\3\end{array}\right] =2k+1$

3k + 1 + 2k + 1 = 6k + 1

k = 1

n = 9 - четвертое число

5) n = 6k + 4

$\left[\begin{array}{c}6k+4\\-\\2\end{array}\right] =3k+2\\\\ \left[\begin{array}{c}6k+4\\-\\3\end{array}\right] =2k+1$

3k + 2 + 2k + 1 = 6k + 2

k = 1

n = 10 - пятое число

6) n = 6k + 5

$\left[\begin{array}{c}6k+5\\-\\2\end{array}\right] =3k+2\\\\ \left[\begin{array}{c}6k+5\\-\\3\end{array}\right] =2k+1$

3k + 2 + 2k + 1 = 6k + 3

k = 0

n = 5 - шестое число

Итого 6 чисел

Ответ: 6

Answer 3

Давайте разберем эту задачу подробно.

У нас есть уравнение:

\[ \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor = n - 2 \]

Здесь \(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\) представляет целую часть от деления \(n\) на 2, а \(\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor\) представляет целую часть от деления \(n\) на 3. Теперь давайте попробуем найти натуральные числа \(n\), удовлетворяющие этому уравнению.

Для начала, давайте попробуем найти ограничения на \(n\). Минимальное значение для \(n\) - это 3, так как при \(n = 1\) и \(n = 2\) левая сторона уравнения меньше \(n - 2\). Для \(n \leq 2\) уравнение не выполняется.

Теперь давайте рассмотрим \(n \geq 3\). Если \(n\) делится как на 2, так и на 3, то \(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\) и \(\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor\) будут равны половине \(n\), то есть \(\frac{n}{2}\) и \(\frac{n}{3}\) соответственно. В этом случае уравнение примет следующий вид:

\[ \frac{n}{2} + \frac{n}{3} = n - 2 \]

Чтобы решить это уравнение, умножим обе стороны на 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3):

\[ 3n + 2n = 6n - 12 \]

\[ 5n = 6n - 12 \]

Теперь выразим \(n\):

\[ 6n - 5n = 12 \]

\[ n = 12 \]

Итак, для \(n = 12\) уравнение выполняется. Проверим, что оно выполняется и для \(n > 12\):

Для \(n > 12\), оба слагаемых \(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\) и \(\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor\) будут больше, чем \(\frac{n}{3}\), так как \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{3}\) - это меньше 1. Поэтому левая сторона уравнения будет больше, чем \(n - 2\), и уравнение не будет выполняться.

Итак, единственным натуральным числом \(n\), удовлетворяющим уравнению \(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor = n - 2\), является \(n = 12\).