Question

U=x sin xy+y cos xy. Найти d^2/dx^2

Answer 1

$u=x\cdot sinxy+y\cdot cosxy\\\\\frac{\partial u}{\partial x}=sinxy+x\cdot cosxy\cdot y+y\cdot (-sinxy)\cdot y=\\\\=sinxy+xy\cdot cosxy-y^2\cdot sinxy=(1-y^2)\cdot sinxy+xy\cdot cosxy\\\\\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=(1-y^2)\cdot cosxy\cdot y+y\cdot cosxy+xy\cdot (-sinxy)\cdot y=\\\\=(1-y^2)\cdot y\cdot cosxy+y\cdot cosxy-xy^2\cdot sinxy=\\\\=(2-y^2)\cdot y\cdot cosxy-xy^2\cdot sinxy$

Answer 2

Чтобы найти вторую производную функции U по x, нам нужно применить правило дифференцирования для сложных функций. В данном случае, у нас есть функция U(x, y) = x + sin(xy) + y + cos(xy).

Во-первых, нам нужно найти первую производную функции U по x, используя правило дифференцирования для сложных функций. Для этого мы применим производные для каждого из элементов функции U.

Первая производная функции U по x, обозначим ее как U_x, будет выглядеть следующим образом:

U_x = 1 + y*cos(xy) - x*sin(xy) - y*sin(xy)

Теперь, чтобы найти вторую производную, нам нужно применить процесс дифференцирования еще раз к U_x.

Вторая производная функции U по x, обозначим ее как U_xx, будет выглядеть следующим образом:

U_xx = -y*sin(xy) - 2*x*cos(xy) + y*cos(xy)

Это и есть искомая вторая производная функции U по x.

Обратите внимание, что в этом ответе мы предполагаем, что y зависит от x, то есть y = y(x). Если y является константой, то вторая производная будет значительно проще.

Пожалуйста, проверьте эти вычисления, поскольку дифференцирование может быть сложным процессом, особенно при работе с сложными функциями и производными по нескольким переменным.