Question

СРОЧНО!!! Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння 2dy/y - dx/x = 0

Answer 1

Відповідь:    y = √( Cx ) .

Покрокове пояснення:

    2dy/y - dx/x = 0 ;

    2dy/y = dx/x ;  інтегруємо :

    ∫2dy/y = ∫dx/x ;

     2ln y = ln x + ln C ;

     2ln y = ln( Cx ) ;

       ln y = 1/2 * ln( Cx ) ;

        ln y =  ln√( Cx ) ;    

        y = √( Cx ) ; - заг. розв'язок диф. рівняння  

Answer 2

Для розв'язання диференціального рівняння 2dy/y - dx/x = 0, спершу перепишемо його у вигляді диференціалів:

2dy/y = dx/x.

Це рівняння можна назвати рівнянням з відокремленими змінними. Для його спрощення згрупуємо доданки, що містять dx, dy по різні сторони знаку рівності .

Далі виділимо спільні множники для кожної суми та перепишемо рівняння у диференціалах до вигляду:

dy/y = dx/x.

Після цього все, що містить y, переносимо до dy, те ж саме проробляємо з множниками, що містять змінну x .

Тепер у нас є диференціальне рівняння з відокремленими змінними. Зінтегруємо його:

∫ dy/y = ∫ dx/x.

Це дозволяє спростити обчисленя та після інтегрування отримати логарифми. Константу рекомендується внести під логарифм, для цього записуйте завжди її у вигляді C1 = ln(C) .

Щоб розкрити логарифми, експонуємо (знаходимо експоненту) праву і ліву сторону рівняння та виділяємо значення функції із отриманої залежності. Кінцеве значення, що мітить подвійний корінь і є загальним інтегралом рівняння з відокремлюваними змінними .

Отже, загальний розв'язок диференціального рівняння 2dy/y - dx/x = 0 є:

ln|y| = ln|x| + C1.

Це рівняння можна переписати у вигляді:

y = C1 * x.

Це означає, що y пропорційна x, де C1 - константа.