Question

1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: 3y^2dy=x^2dx 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: dy/dx=x*y/1+x^2 3. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння: dy/dx=y^2*e^x якщо x=0, то y=1. 4. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: dy/dx-2*y/x+1=(x+1)^2

Answer 1

Решение смотрите во вложении

Answer 2

1. Почнемо з рівняння 3y^2dy = x^2dx. Щоб знайти загальний розв'язок, спершу інтегруємо обидві частини рівняння:

∫3y^2 dy = ∫x^2 dx

Зробимо інтегрування:

y^3 = (1/3)x^3 + C,

де C - довільна константа.

Отже, загальний розв'язок даного диференціального рівняння:

y^3 = (1/3)x^3 + C.

2. Диференціальне рівняння dy/dx = xy / (1 + x^2) є рівнянням Бернуллі. Щоб розв'язати його, введемо заміну z = y^(-1):

dz/dx = -z - x / (1 + x^2).

Це лінійне диференціальне рівняння першого порядку, яке можна розв'язати за допомогою інтегруючого множника або інших методів. Однак, я не здатний виконати точні інтегрування тут.

3. Диференціальне рівняння dy/dx = y^2 * e^x можна розв'язати як звичайне диференціальне рівняння з роздільними змінними. Розділимо змінні та інтегруємо обидві частини:

∫y^(-2) dy = ∫e^x dx

Після інтегрування отримаємо:

-1/y = e^x + C,

де C - константа інтегрування.

З врахуванням початкової умови y(0) = 1, можемо знайти значення константи C:

-1/1 = e^0 + C, -1 = 1 + C, C = -2.

Отже, розв'язок диференціального рівняння з заданою початковою умовою:

-1/y = e^x - 2, y = -1 / (e^x - 2).

4. Диференціальне рівняння dy/dx - 2y / (x + 1) = (x + 1)^2 є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Спершу знайдемо загальний розв'язок однорідної частини рівняння:

dy/dx - 2y / (x + 1) = 0.

Це рівняння має вигляд (dy/dx) - 2y / (x + 1) = 0, і воно може бути розв'язане методом розділення змінних:

dy / y = 2 dx / (x + 1).

Інтегруємо обидві частини:

ln|y| = 2 ln|x + 1| + C,

де C - константа інтегрування.

Приберемо натуральні логарифми і введемо позитивну константу k, щоб врахувати модуль:

y = k(x + 1)^2.

Тепер, знайдемо частковий розв'язок неоднорідної частини рівняння, використовуючи метод варіації сталих. Припустимо, що частковий розв'язок має вигляд:

y_p = A(x + 1)^2.

Підставимо це в початкове рівняння:

A(x + 1)^2 - 2A(x + 1)^2 / (x + 1) = (x + 1)^2, A(x + 1)^2 - 2Ax = (x + 1)^2, A(x^2 + 2x + 1) - 2Ax = x^2 + 2x + 1, A = 1.

Отже, частковий розв'язок:

y_p = (x + 1)^2.

Загальний розв'язок диференціального рівняння:

y = k(x + 1)^2 + (x + 1)^2, y = (k + 1)(x + 1)^2.