Question

5. знайти загальний та частинний розвязки диференціального рівняння у" -7y' +10 y = (0), (0) = 2,у' (0) = 3 y

Answer 1

Ответ: yo=C1*e^(5*x)+C2*e^(2*x), yч=-1/3*e^(5*x)+7/3*e^(2*x).

Пошаговое объяснение:

Перед нами - однородное ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение: k²-7*k+10=0. Оно имеет действительные неравные корни k1=5 и k2=2, поэтому общее решение уравнения yo имеет вид: yo=C1*e^(5*x)+C2*e^(2*x), где C1 и C2 - произвольные постоянные. Отсюда yo'=5*C1*e^(5*x)+2*C2*e^(2*x). Используя условия yo(0)=2 и yo'(0)=3, получаем систему уравнений:

С1+С2=2

5*C1+2*C2=3

Решая её, находим C1=-1/3, C2=7/3. Отсюда искомое частное решение yч=-1/3*e^(5*x)+7/3*e^(2*x).

Answer 2

Диференціальне рівняння, яке ви навели, має вигляд:

-7y' + 10y = 0

Перш за все, давайте знайдемо загальний розв'язок цього диференціального рівняння.

Знайдення загального розв'язку

Диференціальне рівняння можна спростити шляхом поділення на -7:

y' - (10/7)y = 0

Отримали простіше рівняння. Тепер воно має стандартний вигляд:

y' + p(x)y = 0,

де p(x) = -10/7.

Це лінійне диференціальне рівняння першого порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальний розв'язок такого рівняння можна знайти, використовуючи метод інтегруючого множника.

Метод інтегруючого множника:

1. Знаходимо інтегруючий множник, обчислюючи інтеграл від p(x):

μ(x) = exp(∫ p(x) dx).

Де exp(x) - це експоненціальна функція.

2. Множимо обидві частини диференціального рівняння на інтегруючий множник μ(x):

μ(x)y' + μ(x)p(x)y = 0.

3. Застосовуємо правило диференціювання добутку:

(μ(x)y)' = 0.

4. Інтегруємо це рівняння:

∫ (μ(x)y)' dx = ∫ 0 dx.

Отримуємо:

μ(x)y = C,

де C - це довільна константа.

5. Виражаємо y:

y = C/μ(x).

Тепер застосуємо цей метод до нашого диференціального рівняння.

Застосування методу інтегруючого множника

1. Обчислимо інтеграл від p(x):

∫ p(x) dx = ∫ (-10/7) dx = (-10/7)x.

2. Знайдемо інтегруючий множник:

μ(x) = exp(∫ p(x) dx) = exp((-10/7)x).

3. Множимо обидві частини диференціального рівняння на інтегруючий множник:

exp((-10/7)x)y' + (-10/7)exp((-10/7)x)y = 0.

4. Запишемо це рівняння в інтегральній формі:

(exp((-10/7)x)y)' = 0.

5. Інтегруємо це рівняння:

∫ (exp((-10/7)x)y)' dx = ∫ 0 dx.

Отримуємо:

exp((-10/7)x)y = C,

де C - довільна константа.

6. Виражаємо y:

y = C/exp((-10/7)x) = Ce^((10/7)x).

Отже, загальний розв'язок диференціального рівняння -7y' + 10y = 0 має вигляд:

y = Ce^((10/7)x),

де C - довільна константа.

Знаходження частинного розв'язку

Тепер, коли у нас є загальний розв'язок, ми можемо знайти частинний розв'язок диференціального рівняння з початковими умовами.

За введеними умовами:

y(0) = 2, y'(0) = 3.

Підставимо ці значення у загальний розв'язок:

y(0) = Ce^((10/7) * 0) = C.

y'(0) = (10/7)Ce^((10/7) * 0) = (10/7)C.

Отримали два рівняння:

C = 2,

(10/7)C = 3.

Розв'язавши цю систему рівнянь, отримаємо значення константи C:

C = 2.

Отже, частинний розв'язок диференціального рівняння -7y' + 10y = 0 з початковими умовами y(0) = 2, y'(0) = 3 має вигляд:

y = 2e^((10/7)x).