Question

Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння: y"=2sin x*cos^2x якщо задані початкові умови: y(0)=-5/9; y`(0)=-2/3

Answer 1

Ответ: y=-2/3*sin(x)+2/9*sin³(x)-5/9.

Пошаговое объяснение:

y'=2*∫sin(x)*cos²(x)*dx=-2*∫cos²(x)*d[cos(x)]=-2/3*cos³(x)+C1, y=-2/3*∫cos³(x)*dx+C1*∫dx=-2/3*∫cos²(x)*cos(x)*dx+C1*∫dx=-2/3*∫[1-sin²(x)]*d[sin(x)]+C1*∫dx=-2/3*∫d[sin(x)]+2/3*∫sin²(x)*d[sin(x)]+C1*∫dx=-2/3*sin(x)+2/9*sin³(x)+C1*x+C2; -5/9=C2, -2/3=-2/3+С1⇒С1=0, y=-2/3*sin(x)+2/9*sin³(x)-5/9.

Answer 2

Для знаходження частинного розв'язку даного диференціального рівняння ми використаємо метод варіації довільної сталої. Спершу, знайдемо загальний розв'язок однорідного рівняння y" = 0.

Розв'язок однорідного рівняння

Диференціальне рівняння y" = 0 є лінійним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальний розв'язок такого рівняння має вигляд y_h(x) = Ax + B, де A і B - довільні константи.

Частковий розв'язок

Для знаходження часткового розв'язку використаємо метод варіації довільної сталої. Припустимо, що частковий розв'язок має вигляд y_p(x) = u(x) * v(x), де u(x) і v(x) - невідомі функції, які ми повинні знайти.

Знаходження u(x) і v(x)

Введемо заміну: u(x) = sin(x), v(x) = cos^2(x)

Обчислимо похідні від u(x) і v(x): u'(x) = cos(x), u''(x) = -sin(x) v'(x) = -2cos(x)sin(x), v''(x) = -2cos^2(x) + 2sin^2(x)

Підставимо ці значення у вихідне диференціальне рівняння y" = 2sin(x) * cos^2(x): (-sin(x))*(-2cos^2(x) + 2sin^2(x)) + sin(x) * cos^2(x) = 2sin(x) * cos^2(x)

Скоротимо це рівняння: 2sin(x) * cos^2(x) - 2sin^3(x) + sin(x) * cos^2(x) = 2sin(x) * cos^2(x)

Отже, ми бачимо, що вираз (-2sin^3(x)) вирівнюється у вихідному диференціальному рівнянні. Тому можемо записати: y_p(x) = sin(x) * cos^2(x)

Загальний розв'язок

Тепер, коли ми знайшли частинний розв'язок y_p(x) і загальний розв'язок однорідного рівняння y_h(x), можемо записати загальний розв'язок заданого диференціального рівняння:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = Ax + B + sin(x) * cos^2(x)

Знаходження констант A і B

Щоб знайти константи A і B, використаємо початкові умови y(0) = -5/9 і y'(0) = -2/3.

Підставимо x = 0 у вираз y(x): y(0) = A * 0 + B + sin(0) * cos^2(0) = B

Отже, ми отримуємо B = -5/9.

Тепер, обчислимо похідну виразу y(x) за x: y'(x) = A + cos(x) * cos^2(x) - 2sin(x) * sin(x) * cos(x) = A + cos(x) * cos^2(x) - 2sin^2(x) * cos(x)

Підставимо x = 0 у вираз y'(x): y'(0) = A + cos(0) * cos^2(0) - 2sin^2(0) * cos(0) = A + 1 * 1^2 - 2 * 0^2 * 1 = A + 1 - 0 = A + 1

Отже, ми отримуємо A + 1 = -2/3. Відси знаходимо A = -2/3 - 1 = -5/3.

Остаточний розв'язок

Таким чином, розв'язок заданого диференціального рівняння y" = 2sin(x) * cos^2(x) з початковими умовами y(0) = -5/9 і y'(0) = -2/3 має вигляд:

y(x) = (-5/3)x - 5/9 + sin(x) * cos^2(x)

Це є частинний розв'язок заданого диференціального рівняння з заданими початковими умовами.