Question

Log₅(x²-4x)=log₅(3-2x)помогите пожалуйста решить уравнение

Answer 1

Ответ смотри на фото

Answer 2

Для решения данного логарифмического уравнения сначала объединим логарифмы на одной стороне и постараемся избавиться от логарифмов. Исходное уравнение:

$$\log_5(x^2 - 4x) = \log_5(3 - 2x)$$

Поскольку оба логарифма имеют одинаковую базу (основание 5), мы можем удалить логарифмы и оставить выражения в скобках равными друг другу:

$$x^2 - 4x = 3 - 2x$$

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Для этого сначала приведем все члены на одну сторону уравнения:

$$x^2 - 4x + 2x - 3 = 0$$

Затем объединим подобные члены:

$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Где: - $a = 1$ - $b = -2$ - $c = -3$

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного уравнения или факторизации. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Подставим значения $a$, $b$ и $c$:

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$$

Упростим выражение:

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$$

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}$$

$$x = \frac{2 \pm 4}{2}$$

Теперь вычислим два возможных значения $x$:

1. $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ 2. $x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Итак, у нас есть два решения для уравнения:

$$x = 3 \text{ или } x = -1$$

Проверим эти решения, подставив их в исходное уравнение:

Для $x = 3$:

$$\log_5(3^2 - 4 \cdot 3) = \log_5(3 - 2 \cdot 3)$$ $$\log_5(9 - 12) = \log_5(3 - 6)$$ $$\log_5(-3) = \log_5(-3)$$

Оба логарифма равны между собой, и решение $x = 3$ верно.

Для $x = -1$:

$$\log_5((-1)^2 - 4 \cdot (-1)) = \log_5(3 - 2 \cdot (-1))$$ $$\log_5(1 + 4) = \log_5(3 + 2)$$ $$\log_5(5) = \log_5(5)$$

И в этом случае оба логарифма равны, поэтому решение $x = -1$ также верно.

Итак, уравнение имеет два решения: $x = 3$ и $x = -1$.