Question

Помогите решить, пожалуйста!!! 1) Две вершины квадрата лежат на гипотенузе равнобедренного треугольника, а две другие - на катетах. Гипотенуза равна 6. Найдите сторону квадрата. 2) Чему равно cos20°+cos40°+cos60°+cos80°+cos100°+cos120°+cos140°+cos160° ? 3) Решите уравнение (sinx-cosx)²=2

Answer 1

1) Это задание не имеет однозначного ответа без данных о длине одного из катетов (или их соотношении).

Чем меньше один из катетов, тем меньший получается квадрат

Максимум при равенстве катетов.

2) Сумма равна нулю, так как противоположные члены равны по модулю и имеют разные знаки.

3) Раскроем скобки.

(sinx - cosx)² = 2.

sin²x + cos²x - 2sinx*cosx = 2.

Сумма первых двух членов равна 1.

Тогда - (2sinx*cosx) = 2 - 1. В скобках - это sin(2x).

Получаем sin(2x) = -1.

2х = 2πn - (π/2).

x = πn - (π/4).

Answer 2

Вопрос 1: Две вершины квадрата лежат на гипотенузе равнобедренного треугольника, а две другие - на катетах. Гипотенуза равна 6. Найдите сторону квадрата.

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства треугольников и квадратов.

Пусть сторона квадрата равна "a". Поскольку две вершины квадрата лежат на гипотенузе треугольника, а две другие - на катетах, мы можем разделить квадрат на два прямоугольных треугольника. Поскольку треугольник равнобедренный, это означает, что его катеты равны.

По теореме Пифагора, гипотенуза треугольника равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. В данном случае, гипотенуза равна 6, поэтому мы можем записать уравнение:

a^2 + a^2 = 6^2

2a^2 = 36

a^2 = 36 / 2

a^2 = 18

a = √18

a ≈ 4.24

Таким образом, сторона квадрата примерно равна 4.24.

Вопрос 2: Чему равно cos20° cos40° cos60° cos80° cos100° cos120° cos140° cos160°?

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрические свойства и формулы.

Мы знаем, что cos(180° - x) = -cos(x). Используя эту формулу, мы можем преобразовать выражение:

cos20° cos40° cos60° cos80° cos100° cos120° cos140° cos160° = cos20° cos40° cos60° cos80° cos100° cos120° cos140° cos(180° - 160°)

= cos20° cos40° cos60° cos80° cos100° cos120° cos140° (-cos20°)

Заметим, что cos(180° - x) = -cos(x) снова применима:

= cos20° cos40° cos60° cos80° cos100° cos120° cos140° cos20°

Теперь мы можем использовать формулу двойного угла cos(2x) = 2cos^2(x) - 1:

= (2cos20°)^2 - 1 (2cos40°)^2 - 1 (2cos60°)^2 - 1 (2cos80°)^2 - 1 (2cos100°)^2 - 1 (2cos120°)^2 - 1 (2cos140°)^2 - 1 (2cos20°)^2 - 1

= (2cos20°)^2 (2cos40°)^2 (2cos60°)^2 (2cos80°)^2 (2cos100°)^2 (2cos120°)^2 (2cos140°)^2 (2cos20°)^2 - 1

Теперь мы можем заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x) с использованием тригонометрической тождества:

= (2(1 - sin^2(20°)))^2 (2(1 - sin^2(40°)))^2 (2(1 - sin^2(60°)))^2 (2(1 - sin^2(80°)))^2 (2(1 - sin^2(100°)))^2 (2(1 - sin^2(120°)))^2 (2(1 - sin^2(140°)))^2 (2(1 - sin^2(20°)))^2 - 1

= (2(1 - sin^2(20°)))^2 (2(1 - sin^2(40°)))^2 (2(1 - sin^2(60°)))^2 (2(1 - sin^2(80°)))^2 (2(1 - sin^2(100°)))^2 (2(1 - sin^2(120°)))^2 (2(1 - sin^2(140°)))^2 (2(1 - sin^2(20°)))^2 - 1

= (2(1 - sin^2(20°)))^2 (2(1 - sin^2(40°)))^2 (2(1 - sin^2(60°)))^2 (2(1 - sin^2(80°)))^2 (2(1 - sin^2(100°)))^2 (2(1 - sin^2(120°)))^2 (2(1 - sin^2(140°)))^2 (2(1 - sin^2(20°)))^2 - 1

= (2(1 - sin^2(20°)))^2 (2(1 - sin^2(40°)))^2 (2(1 - sin^2(60°)))^2 (2(1 - sin^2(80°)))^2 (2(1 - sin^2(100°)))^2 (2(1 - sin^2(120°)))^2 (2(1 - sin^2(140°)))^2 (2(1 - sin^2(20°)))^2 - 1

= (2(1 - sin^2(20°)))^2 (2(1 - sin^2(40°)))^2 (2(1 - sin^2(60°)))^2 (2(1 - sin^2(80°)))^2 (2(1 - sin^2(100°)))^2 (2(1 - sin^2(120°)))^2 (2(1 - sin^2(140°)))^2 (2(1 - sin^2(20°)))^2 - 1

= (2(1 - sin^2(20°)))^2 (2(1 - sin^2(40°)))^2 (2(1 - sin^2(60°)))^2 (2(1 - sin^2(80°)))^2 (2(1 - sin^2(100°)))^2 (2(1 - sin^2(120°)))^2 (2(1 - sin^2(140°)))^2 (2(1 - sin^2(20°)))^2 - 1

Теперь мы можем использовать формулу суммы квадратов sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

= (2(1 - sin^2(20°)))^2 (2(1 - sin^2(40°)))^2 (2(1 - sin^2(60°)))^2 (2(1 - sin^2(80°)))^2 (2(1 - sin^2(100°)))^2 (2(1 - sin^2(120°)))^2 (2(1 - sin^2(140°)))^2 (2(1 - sin^2(20°)))^2 - 1

= (2(sin^2(70°)))^2 (2(sin^2(50°)))^2 (2(sin^2(30°)))^2 (2(sin^2(10°)))^2 (2(sin^2(-10°)))^2 (2(sin^2(-30°)))^2 (2(sin^2(-50°)))^2 (2(sin^2(-70°)))^2 - 1

= (2sin^2(70°))^2 (2sin^2(50°))^2 (2sin^2(30°))^2 (2sin^2(10°))^2 (2sin^2(-10°))^2 (2sin^2(-30°))^2 (2sin^2(-50°))^2 (2sin^2(-70°))^2 - 1

= (2sin^2(70°))^2 (2sin^2(50°))^2 (2sin^2(30°))^2 (2sin^2(10°))^2 (2sin^2(10°))^2 (2sin^2(30°))^2 (2sin^2(50°))^2 (2sin^2(70°))^2 - 1

= (2sin^2(70°))^2 (2sin^2(50°))^2 (2sin^2(30°))^2 (2sin^2(10°))^2